题目
专业课习题解析课程西安电子科技大学第一章信号与系统1-23设系统的初始状态为x(0)，激励为f(.)，各系统的全响应y(.)与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。(1) (t)=(e)^-1x(0)+(int )_(0)^tsin xf(x)dx-|||-(2) (t)=f(t)x(0)+(int )_(0)^tf(x)dx-|||-(3) (t)=sin [ x(0)t] +(int )_(0)^tf(x)dx-|||-(4) (k)=((0.5))^kx(0)+f(k)f(k-2)-|||-(5) (k)=kx(0)+sum _(i=0)^kf(i)
专业课习题解析课程西安电子科技大学第一章信号与系统
1-23设系统的初始状态为x(0)，激励为f(.)，各系统的全响应y(.)与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。
题目解答
答案
专业课习题解析课程西安电子科技大学第一章信号与系统
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解析
步骤 1：分析系统(1)
系统(1)的全响应为 $y(t)={e}^{-1}x(0)+{\int }_{0}^{t}\sin xf(x)dx$。将全响应分解为零输入响应和零状态响应，得到 ${y}_{x}(t)={e}^{-1}x(0)$ 和 ${y}_{f}(t)={\int }_{0}^{t}\sin xf(x)dx$。由于 $y(t)={y}_{x}(t)+{y}_{f}(t)$，系统满足可分解性。同时，${y}_{x}(t)$ 和 ${y}_{f}(t)$ 分别满足零输入线性和零状态线性，因此系统(1)是线性系统。
步骤 2：分析系统(2)
系统(2)的全响应为 $y(t)=f(t)x(0)+{\int }_{0}^{t}f(x)dx$。将全响应分解为零输入响应和零状态响应，得到 ${y}_{x}(t)=0$ 和 ${y}_{f}(t)={\int }_{0}^{t}f(x)dx$。由于 $y(t)\neq {y}_{x}(t)+{y}_{f}(t)$，系统不满足可分解性，因此系统(2)不是线性系统。
步骤 3：分析系统(3)
系统(3)的全响应为 $y(t)=\sin [ x(0)t] +{\int }_{0}^{t}f(x)dx$。将全响应分解为零输入响应和零状态响应，得到 ${y}_{x}(t)=\sin [ x(0)t]$ 和 ${y}_{f}(t)={\int }_{0}^{t}f(x)dx$。由于 $y(t)={y}_{x}(t)+{y}_{f}(t)$，系统满足可分解性。但是，${y}_{1}(t)+{y}_{2}(t)\neq \sin [ ({x}_{1}(0)+{x}_{2}(0))t]$，即 ${y}_{x}(t)$ 不满足零输入线性，因此系统(3)不是线性系统。
步骤 4：分析系统(4)
系统(4)的全响应为 $y(k)={(0.5)}^{k}x(0)+f(k)f(k-2)$。将全响应分解为零输入响应和零状态响应，得到 ${y}_{x}(k)={(0.5)}^{k}x(0)$ 和 ${y}_{f}(k)=f(k)f(k-2)$。由于 $y(k)={y}_{x}(k)+{y}_{f}(k)$，系统满足可分解性。但是，${y}_{1}(k)+{y}_{2}(k)\neq [ f(k)+{f}_{2}(k)] \cdot [ f(k-2)+{f}_{2}(k-2)]$，即 ${y}_{f}(k)$ 不满足零状态线性，因此系统(4)不是线性系统。
步骤 5：分析系统(5)
系统(5)的全响应为 $y(k)=kx(0)+\sum _{j=0}^{k}f(j)$。将全响应分解为零输入响应和零状态响应，得到 ${y}_{x}(k)=kx(0)$ 和 ${y}_{f}(k)=\sum _{j=0}^{k}f(j)$。由于 $y(k)={y}_{x}(k)+{y}_{f}(k)$，系统满足可分解性。同时，${y}_{{x}_{1}}(k)+{y}_{{x}_{2}}(k)=k[ {x}_{1}(0)+{x}_{2}(0)]$ 和 ${y}_{{f}_{1}}(k)+{y}_{{f}_{2}}(k)=\sum _{j=0}^{k}[ {f}_{1}(j)+{f}_{2}(j)]$，即 ${y}_{x}(k)$ 和 ${y}_{f}(k)$ 分别满足零输入线性和零状态线性，因此系统(5)是线性系统。
系统(1)的全响应为 $y(t)={e}^{-1}x(0)+{\int }_{0}^{t}\sin xf(x)dx$。将全响应分解为零输入响应和零状态响应，得到 ${y}_{x}(t)={e}^{-1}x(0)$ 和 ${y}_{f}(t)={\int }_{0}^{t}\sin xf(x)dx$。由于 $y(t)={y}_{x}(t)+{y}_{f}(t)$，系统满足可分解性。同时，${y}_{x}(t)$ 和 ${y}_{f}(t)$ 分别满足零输入线性和零状态线性，因此系统(1)是线性系统。
步骤 2：分析系统(2)
系统(2)的全响应为 $y(t)=f(t)x(0)+{\int }_{0}^{t}f(x)dx$。将全响应分解为零输入响应和零状态响应，得到 ${y}_{x}(t)=0$ 和 ${y}_{f}(t)={\int }_{0}^{t}f(x)dx$。由于 $y(t)\neq {y}_{x}(t)+{y}_{f}(t)$，系统不满足可分解性，因此系统(2)不是线性系统。
步骤 3：分析系统(3)
系统(3)的全响应为 $y(t)=\sin [ x(0)t] +{\int }_{0}^{t}f(x)dx$。将全响应分解为零输入响应和零状态响应，得到 ${y}_{x}(t)=\sin [ x(0)t]$ 和 ${y}_{f}(t)={\int }_{0}^{t}f(x)dx$。由于 $y(t)={y}_{x}(t)+{y}_{f}(t)$，系统满足可分解性。但是，${y}_{1}(t)+{y}_{2}(t)\neq \sin [ ({x}_{1}(0)+{x}_{2}(0))t]$，即 ${y}_{x}(t)$ 不满足零输入线性，因此系统(3)不是线性系统。
步骤 4：分析系统(4)
系统(4)的全响应为 $y(k)={(0.5)}^{k}x(0)+f(k)f(k-2)$。将全响应分解为零输入响应和零状态响应，得到 ${y}_{x}(k)={(0.5)}^{k}x(0)$ 和 ${y}_{f}(k)=f(k)f(k-2)$。由于 $y(k)={y}_{x}(k)+{y}_{f}(k)$，系统满足可分解性。但是，${y}_{1}(k)+{y}_{2}(k)\neq [ f(k)+{f}_{2}(k)] \cdot [ f(k-2)+{f}_{2}(k-2)]$，即 ${y}_{f}(k)$ 不满足零状态线性，因此系统(4)不是线性系统。
步骤 5：分析系统(5)
系统(5)的全响应为 $y(k)=kx(0)+\sum _{j=0}^{k}f(j)$。将全响应分解为零输入响应和零状态响应，得到 ${y}_{x}(k)=kx(0)$ 和 ${y}_{f}(k)=\sum _{j=0}^{k}f(j)$。由于 $y(k)={y}_{x}(k)+{y}_{f}(k)$，系统满足可分解性。同时，${y}_{{x}_{1}}(k)+{y}_{{x}_{2}}(k)=k[ {x}_{1}(0)+{x}_{2}(0)]$ 和 ${y}_{{f}_{1}}(k)+{y}_{{f}_{2}}(k)=\sum _{j=0}^{k}[ {f}_{1}(j)+{f}_{2}(j)]$，即 ${y}_{x}(k)$ 和 ${y}_{f}(k)$ 分别满足零输入线性和零状态线性，因此系统(5)是线性系统。