题目

设函数=z(x,y)由方程=z(x,y)确定，计算=z(x,y)

设函数 $z=z\left(x,y\right)$ 由方程 $z=e^{2x-3z}-2y$ 确定，计算 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$

题目解答

答案

对方程两边分别求微分，即

$dz$

$=e^{2x-3z}\left(2dx-3dz\right)-2dy$

$=2e^{2x-3z}dx-3e^{2x-3z}dz-2dy$

整理一下得到

$\left(1+3e^{2x-3z}\right)dz=2e^{2x-3z}dx-2dy$

$dz=\frac{2e^{2x-3z}}{1+3e^{2x-3z}}dx-\frac{2}{1+3e^{2x-3z}}dy$

所以，

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2e^{2x-3z}}{1+3e^{2x-3z}}dx$

$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2}{1+3e^{2x-3z}}dy$

解析

步骤 1：对给定方程两边分别求微分
给定方程为$z={e}^{2x-3z}-2y$，对两边分别求微分，得到
$dz={e}^{2x-3z}(2dx-3dz)-2dy$
步骤 2：整理微分方程
将上式整理，得到
$dz+3{e}^{2x-3z}dz=2{e}^{2x-3z}dx-2dy$
步骤 3：求解$\dfrac {\partial z}{\partial x}$和$\dfrac {\partial z}{\partial y}$
将上式整理为
$(1+3{e}^{2x-3z})dz=2{e}^{2x-3z}dx-2dy$
从而得到
$\dfrac {\partial z}{\partial x}=\dfrac {2{e}^{2x-3z}}{1+3{e}^{2x-3z}}$
$\dfrac {\partial z}{\partial y}=-\dfrac {2}{1+3{e}^{2x-3z}}$