若随机事件A,B,C相互独立，则Acup B与C独立。

考查要点：本题主要考查事件独立性的定义及其在复合事件中的应用，需要理解多个事件相互独立时的概率运算规则。

解题核心思路：

1. 明确独立性定义：若事件$A,B,C$相互独立，则任意两个事件的交概率等于各自概率的乘积，且三个事件的交概率也等于各自概率的乘积。
2. 分解复合事件：将$A \cup B$与$C$的交事件分解为$(A \cap C) \cup (B \cap C)$，利用容斥原理计算其概率。
3. 验证独立性条件：通过代数运算证明$P((A \cup B) \cap C) = P(A \cup B) \cdot P(C)$，从而判断独立性。

破题关键点：

• 正确应用独立性条件：利用$A,B,C$相互独立，将交事件的概率拆分为乘积形式。
• 处理并集的概率：通过容斥原理计算$P(A \cup B)$，并与$C$的概率结合验证等式。

步骤1：分解交事件
根据集合运算的分配律，有：
$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C).$

步骤2：计算交事件的概率
利用容斥原理展开：
$\begin{aligned}P((A \cup B) \cap C) &= P((A \cap C) \cup (B \cap C)) \\&= P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C).\end{aligned}$

步骤3：代入独立性条件
由于$A,B,C$相互独立，可得：
$\begin{aligned}P(A \cap C) &= P(A)P(C), \\P(B \cap C) &= P(B)P(C), \\P(A \cap B \cap C) &= P(A)P(B)P(C).\end{aligned}$

代入后：
$\begin{aligned}P((A \cup B) \cap C) &= P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(A)P(B)P(C) \\&= P(C) \left[ P(A) + P(B) - P(A)P(B) \right].\end{aligned}$

步骤4：计算$P(A \cup B)$
根据容斥原理：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B).$

步骤5：验证独立性条件
计算$P(A \cup B) \cdot P(C)$：
$P(A \cup B) \cdot P(C) = \left[ P(A) + P(B) - P(A)P(B) \right] P(C).$

结论：
$P((A \cup B) \cap C) = P(A \cup B) \cdot P(C),$
因此，$A \cup B$与$C$独立。