题目
2.应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域):-|||-(1) +dfrac ({x)^3}(3)+dfrac ({x)^5}(5)+... +dfrac ({x)^2n+1}(2n+1)+... ;-|||-(2) https:/img.zuoyebang.cc/zyb_2b084ff6ca16df6e3c1ebee03fd5c023.jpgcdot 2x+2cdot 3(x)^2+... +n(n+1)(x)^n+... ;-|||-(3) sum _(n=1)^infty (n)^2(x)^n.
题目解答
答案
解析
步骤 1：逐项求导
对于幂级数 $x+\dfrac {{x}^{3}}{3}+\dfrac {{x}^{5}}{5}+\cdots +\dfrac {{x}^{2n+1}}{2n+1}+\cdots $，逐项求导得到 $1+x^2+x^4+\cdots+x^{2n}+\cdots$，这是一个等比级数，其和函数为 $\dfrac{1}{1-x^2}$，定义域为 $(-1,1)$。
步骤 2：逐项求积
对于幂级数 $1\cdot 2x+2\cdot 3{x}^{2}+\cdots +n(n+1){x}^{n}+\cdots $，逐项求积得到 $2x+3x^2+\cdots+(n+1)x^{n}+\cdots$，这是一个等比级数，其和函数为 $\dfrac{2x}{(1-x)^3}$，定义域为 $(-1,1)$。
步骤 3：逐项求积
对于幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{n}^{2}{x}^{n}$，逐项求积得到 $x+4x^2+9x^3+\cdots+n^2x^n+\cdots$，这是一个等比级数，其和函数为 $\dfrac{x+{x}^{2}}{{(1-x)}^{3}}$，定义域为 $(-1,1)$。
对于幂级数 $x+\dfrac {{x}^{3}}{3}+\dfrac {{x}^{5}}{5}+\cdots +\dfrac {{x}^{2n+1}}{2n+1}+\cdots $，逐项求导得到 $1+x^2+x^4+\cdots+x^{2n}+\cdots$，这是一个等比级数，其和函数为 $\dfrac{1}{1-x^2}$，定义域为 $(-1,1)$。
步骤 2：逐项求积
对于幂级数 $1\cdot 2x+2\cdot 3{x}^{2}+\cdots +n(n+1){x}^{n}+\cdots $，逐项求积得到 $2x+3x^2+\cdots+(n+1)x^{n}+\cdots$，这是一个等比级数，其和函数为 $\dfrac{2x}{(1-x)^3}$，定义域为 $(-1,1)$。
步骤 3：逐项求积
对于幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{n}^{2}{x}^{n}$，逐项求积得到 $x+4x^2+9x^3+\cdots+n^2x^n+\cdots$，这是一个等比级数，其和函数为 $\dfrac{x+{x}^{2}}{{(1-x)}^{3}}$，定义域为 $(-1,1)$。