题目
计算lim _((x,y)arrow (0,0))dfrac (xy)(sqrt {xy+1)-1}=_____________
计算
_____________
题目解答
答案
依题意得，
原式
故本题答案为2。
解析
步骤 1：有理化分母
为了计算这个极限，我们首先需要有理化分母。为此，我们将分子和分母同时乘以分母的共轭表达式，即$\sqrt{xy+1}+1$。这样做的目的是消除分母中的根号，使极限计算变得更容易。
步骤 2：简化表达式
在有理化分母后，我们得到的表达式为$\dfrac{xy(\sqrt{xy+1}+1)}{(\sqrt{xy+1}-1)(\sqrt{xy+1}+1)}$。由于$(\sqrt{xy+1}-1)(\sqrt{xy+1}+1)$是差乘积的形式，它等于$(xy+1)-1=xy$。因此，原表达式简化为$\dfrac{xy(\sqrt{xy+1}+1)}{xy}$。
步骤 3：计算极限
在简化后的表达式中，$xy$项可以相互约去，留下$\sqrt{xy+1}+1$。当$(x,y)\rightarrow(0,0)$时，$xy\rightarrow0$，因此$\sqrt{xy+1}\rightarrow\sqrt{0+1}=1$。所以，$\sqrt{xy+1}+1\rightarrow1+1=2$。
为了计算这个极限，我们首先需要有理化分母。为此，我们将分子和分母同时乘以分母的共轭表达式，即$\sqrt{xy+1}+1$。这样做的目的是消除分母中的根号，使极限计算变得更容易。
步骤 2：简化表达式
在有理化分母后，我们得到的表达式为$\dfrac{xy(\sqrt{xy+1}+1)}{(\sqrt{xy+1}-1)(\sqrt{xy+1}+1)}$。由于$(\sqrt{xy+1}-1)(\sqrt{xy+1}+1)$是差乘积的形式，它等于$(xy+1)-1=xy$。因此，原表达式简化为$\dfrac{xy(\sqrt{xy+1}+1)}{xy}$。
步骤 3：计算极限
在简化后的表达式中，$xy$项可以相互约去，留下$\sqrt{xy+1}+1$。当$(x,y)\rightarrow(0,0)$时，$xy\rightarrow0$，因此$\sqrt{xy+1}\rightarrow\sqrt{0+1}=1$。所以，$\sqrt{xy+1}+1\rightarrow1+1=2$。