求函数 (x,y)=-(x)^4-(y)^4+4xy-1 的极值.

步骤 1：求偏导数
首先，我们需要求出函数 $f(x,y)=-{x}^{4}-{y}^{4}+4xy-1$ 的偏导数，以找到可能的极值点。
${f}_{x}(x,y)=-4{x}^{3}+4y$
${f}_{y}(x,y)=-4{y}^{3}+4x$

步骤 2：求驻点
令偏导数等于零，求解方程组以找到驻点。
$-4{x}^{3}+4y=0$
$-4{y}^{3}+4x=0$
解得三个驻点：(0,0)、(1,1)、(-1,-1)。

步骤 3：计算二阶偏导数
计算二阶偏导数，以确定极值的性质。
${f}_{xx}(x,y)=-12{x}^{2}$
${f}_{xy}(x,y)=4$
${f}_{yy}(x,y)=-12{y}^{2}$

步骤 4：应用二阶导数判别法
对于每个驻点，计算二阶导数判别式 $AC-{B}^{2}$，其中 $A={f}_{xx}$，$B={f}_{xy}$，$C={f}_{yy}$。
对于点(0,0)：
$A=-12(0)^{2}=0$
$B=4$
$C=-12(0)^{2}=0$
$AC-{B}^{2}=0-16=-16<0$，所以点(0,0)不是极值点。
对于点(1,1)：
$A=-12(1)^{2}=-12$
$B=4$
$C=-12(1)^{2}=-12$
$AC-{B}^{2}=(-12)(-12)-16=144-16=128>0$，且 $A<0$，所以点(1,1)是极大值点。
对于点(-1,-1)：
$A=-12(-1)^{2}=-12$
$B=4$
$C=-12(-1)^{2}=-12$
$AC-{B}^{2}=(-12)(-12)-16=144-16=128>0$，且 $A<0$，所以点(-1,-1)是极大值点。

步骤 5：计算极值
计算函数在极大值点的值。
$f(1,1)=-1^{4}-1^{4}+4(1)(1)-1=1$
$f(-1,-1)=-(-1)^{4}-(-1)^{4}+4(-1)(-1)-1=1$