题目
1.计算下列极限:-|||-(13) lim _(narrow infty )dfrac ((n+1)(n+2)(n+3))(5{n)^3};
题目解答
答案
解析
步骤 1：展开分子
首先，我们展开分子 $(n+1)(n+2)(n+3)$，得到：
$$(n+1)(n+2)(n+3) = n^3 + 6n^2 + 11n + 6$$
步骤 2：将展开后的分子代入原式
将展开后的分子代入原式，得到：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n^3 + 6n^2 + 11n + 6}{5{n}^{3}}$$
步骤 3：化简极限表达式
将分子和分母都除以 $n^3$，得到：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1 + \frac{6}{n} + \frac{11}{n^2} + \frac{6}{n^3}}{5}$$
步骤 4：计算极限
当 $n$ 趋于无穷大时，$\frac{6}{n}$，$\frac{11}{n^2}$，$\frac{6}{n^3}$ 都趋于 0，因此：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1 + \frac{6}{n} + \frac{11}{n^2} + \frac{6}{n^3}}{5} = \dfrac{1}{5}$$
首先，我们展开分子 $(n+1)(n+2)(n+3)$，得到：
$$(n+1)(n+2)(n+3) = n^3 + 6n^2 + 11n + 6$$
步骤 2：将展开后的分子代入原式
将展开后的分子代入原式，得到：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n^3 + 6n^2 + 11n + 6}{5{n}^{3}}$$
步骤 3：化简极限表达式
将分子和分母都除以 $n^3$，得到：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1 + \frac{6}{n} + \frac{11}{n^2} + \frac{6}{n^3}}{5}$$
步骤 4：计算极限
当 $n$ 趋于无穷大时，$\frac{6}{n}$，$\frac{11}{n^2}$，$\frac{6}{n^3}$ 都趋于 0，因此：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1 + \frac{6}{n} + \frac{11}{n^2} + \frac{6}{n^3}}{5} = \dfrac{1}{5}$$