(19) int dfrac (dx)(4-{x)^2}

考查要点：本题主要考查有理函数的积分，特别是分母为二次多项式的情况。需要掌握部分分式分解法的应用，以及对数积分的基本形式。

解题核心思路：
将分母$4 - x^2$分解为$(2 - x)(2 + x)$，利用部分分式法将其拆分为两个简单分式的和，分别积分后合并结果。关键在于正确求出部分分式的系数，并注意积分后的对数表达式形式。

破题关键点：

1. 分解分母：将$4 - x^2$写成$(2 - x)(2 + x)$。
2. 拆分分式：设$\dfrac{1}{4 - x^2} = \dfrac{A}{2 - x} + \dfrac{B}{2 + x}$，解出$A$和$B$。
3. 分别积分：对拆分后的分式逐项积分，注意积分结果中的对数形式和绝对值符号。

步骤1：分解分母
将分母$4 - x^2$分解为两个一次因式的乘积：
$4 - x^2 = (2 - x)(2 + x).$

步骤2：部分分式分解
设$\dfrac{1}{4 - x^2} = \dfrac{A}{2 - x} + \dfrac{B}{2 + x}$，通分后得：
$1 = A(2 + x) + B(2 - x).$

步骤3：求解系数$A$和$B$

• 令$x = 2$，代入得：$1 = A(4) \Rightarrow A = \dfrac{1}{4}$。
• 令$x = -2$，代入得：$1 = B(4) \Rightarrow B = \dfrac{1}{4}$。

因此，原式可拆分为：
$\dfrac{1}{4 - x^2} = \dfrac{1}{4(2 - x)} + \dfrac{1}{4(2 + x)}.$

步骤4：逐项积分
对拆分后的分式分别积分：

1. $\displaystyle \int \dfrac{1}{4(2 - x)} dx = -\dfrac{1}{4} \ln |2 - x| + C_1$（换元积分，$\int \dfrac{1}{u} du = \ln |u|$）。
2. $\displaystyle \int \dfrac{1}{4(2 + x)} dx = \dfrac{1}{4} \ln |2 + x| + C_2$。

步骤5：合并结果
将两部分积分结果合并，并整理常数项：
$\dfrac{1}{4} \left( \ln |2 + x| - \ln |2 - x| \right) + C = \dfrac{1}{4} \ln \left| \dfrac{2 + x}{2 - x} \right| + C.$