题目
设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2)…(enx-n)，其中n为正整数，则f′(0)=( )A. (-1)n-1(n-1)!B. (-1)n(n-1)!C. (-1)n-1n!D. (-1)nn!
设函数f(x)=(e
x-1)(e
2x-2)…(e
nx-n)，其中n为正整数，则f′(0)=( )
A. (-1) n-1(n-1)!
B. (-1) n(n-1)!
C. (-1) n-1n!
D. (-1) nn!
A. (-1) n-1(n-1)!
B. (-1) n(n-1)!
C. (-1) n-1n!
D. (-1) nn!
题目解答
答案
从定义出发有
f′(0)＝
∵f(0)=0
∴ f′(0)＝
=
(e2x−2)(e3x−3)…(enx−n)＝−1×(−2)×…×(1−n)＝(−1)n−1(n−1)!
故选：A．
f′(0)＝
| lim |
| x→0 |
| f(x)−f(0) |
| x |
∵f(0)=0
∴ f′(0)＝
| lim |
| x→0 |
| (ex−1)×(e2x−2)×…×(enx−n) |
| x |
=
| lim |
| x→0 |
故选：A．
解析
步骤 1：定义导数
根据导数的定义，f′(0) 可以表示为：
f′(0) = lim_{x→0} \frac{f(x) - f(0)}{x}
步骤 2：计算f(0)
由于f(x) = (e ^{x}-1)(e ^{2x}-2)…(e ^{nx}-n)，当x=0时，f(0) = (e ^{0}-1)(e ^{0}-2)…(e ^{0}-n) = 0
步骤 3：计算f′(0)
将f(0) = 0代入导数定义中，得到：
f′(0) = lim_{x→0} \frac{(e ^{x}-1)(e ^{2x}-2)…(e ^{nx}-n)}{x}
步骤 4：应用洛必达法则
由于分子和分母在x=0时都为0，可以应用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到：
f′(0) = lim_{x→0} \frac{(e ^{x}-1)′(e ^{2x}-2)…(e ^{nx}-n) + (e ^{x}-1)(e ^{2x}-2)′…(e ^{nx}-n) + … + (e ^{x}-1)(e ^{2x}-2)…(e ^{nx}-n)′}{1}
步骤 5：计算极限
由于e ^{x}在x=0时的导数为1，所以：
f′(0) = lim_{x→0} \frac{(e ^{x}-1)′(e ^{2x}-2)…(e ^{nx}-n) + (e ^{x}-1)(e ^{2x}-2)′…(e ^{nx}-n) + … + (e ^{x}-1)(e ^{2x}-2)…(e ^{nx}-n)′}{1}
= (e ^{0}-1)(e ^{2*0}-2)…(e ^{n*0}-n) + (e ^{0}-1)(e ^{2*0}-2)…(e ^{n*0}-n) + … + (e ^{0}-1)(e ^{2*0}-2)…(e ^{n*0}-n)
= (-1)(-2)…(-n)
= (-1)^{n-1}(n-1)!
根据导数的定义，f′(0) 可以表示为：
f′(0) = lim_{x→0} \frac{f(x) - f(0)}{x}
步骤 2：计算f(0)
由于f(x) = (e ^{x}-1)(e ^{2x}-2)…(e ^{nx}-n)，当x=0时，f(0) = (e ^{0}-1)(e ^{0}-2)…(e ^{0}-n) = 0
步骤 3：计算f′(0)
将f(0) = 0代入导数定义中，得到：
f′(0) = lim_{x→0} \frac{(e ^{x}-1)(e ^{2x}-2)…(e ^{nx}-n)}{x}
步骤 4：应用洛必达法则
由于分子和分母在x=0时都为0，可以应用洛必达法则，对分子和分母分别求导，得到：
f′(0) = lim_{x→0} \frac{(e ^{x}-1)′(e ^{2x}-2)…(e ^{nx}-n) + (e ^{x}-1)(e ^{2x}-2)′…(e ^{nx}-n) + … + (e ^{x}-1)(e ^{2x}-2)…(e ^{nx}-n)′}{1}
步骤 5：计算极限
由于e ^{x}在x=0时的导数为1，所以：
f′(0) = lim_{x→0} \frac{(e ^{x}-1)′(e ^{2x}-2)…(e ^{nx}-n) + (e ^{x}-1)(e ^{2x}-2)′…(e ^{nx}-n) + … + (e ^{x}-1)(e ^{2x}-2)…(e ^{nx}-n)′}{1}
= (e ^{0}-1)(e ^{2*0}-2)…(e ^{n*0}-n) + (e ^{0}-1)(e ^{2*0}-2)…(e ^{n*0}-n) + … + (e ^{0}-1)(e ^{2*0}-2)…(e ^{n*0}-n)
= (-1)(-2)…(-n)
= (-1)^{n-1}(n-1)!