29.计算iintlimits_(D)x^2ydxdy，其中D是由x轴，x=1以及抛物线y=x²所围成的区域.

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，特别是直角坐标系下二重积分的累次积分法。
解题思路：

1. 确定积分区域：根据题意，区域$D$由$x$轴、直线$x=1$和抛物线$y=x^2$围成，需明确$x$和$y$的取值范围。
2. 选择积分顺序：优先选择先对$y$积分再对$x$积分，因为对于每个固定的$x$，$y$的范围更直观。
3. 分步计算：先对$y$积分时，将$x$视为常数；再对$x$积分时，直接计算幂函数的积分。

关键点：

• 积分区域的描述：正确写出$x$和$y$的积分上下限。
• 积分顺序的选择：简化计算的关键在于合理选择积分顺序。

步骤1：确定积分区域

区域$D$由$x$轴（$y=0$）、直线$x=1$和抛物线$y=x^2$围成。

• 当$x$从$0$到$1$时，$y$的范围是$0 \leq y \leq x^2$。
  因此，积分区域可表示为：
  $D = \{ (x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x^2 \}$

步骤2：转化为累次积分

将二重积分转化为先对$y$积分，再对$x$积分：
$\iint\limits_{D} x^2 y \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^2} x^2 y \, dy \, dx$

步骤3：对$y$积分

在内层积分中，$x$视为常数：
$\int_{0}^{x^2} x^2 y \, dy = x^2 \int_{0}^{x^2} y \, dy = x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{x^2} = x^2 \cdot \frac{x^4}{2} = \frac{x^6}{2}$

步骤4：对$x$积分

将结果代入外层积分：
$\int_{0}^{1} \frac{x^6}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^6 \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{14}$