题目
求极限-|||-lim _(xarrow infty )((dfrac {1)(x)cdot dfrac ({a)^x-1}(a-1))}^1/x (a>0,a≠1)
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析极限表达式
给定的极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {1}{x}\cdot \dfrac {{a}^{x}-1}{a-1})}^{1/x}$，其中 $a>0$ 且 $a\neq 1$。首先，我们注意到当 $x\rightarrow \infty$ 时，$\dfrac {1}{x}\rightarrow 0$，而 $\dfrac {{a}^{x}-1}{a-1}$ 的行为取决于 $a$ 的值。
步骤 2：考虑 $a>1$ 的情况
当 $a>1$ 时，${a}^{x}$ 随着 $x$ 的增加而迅速增加，因此 $\dfrac {{a}^{x}-1}{a-1}$ 也迅速增加。此时，$\dfrac {1}{x}\cdot \dfrac {{a}^{x}-1}{a-1}$ 的值主要由 $\dfrac {{a}^{x}-1}{a-1}$ 决定，因为 $\dfrac {1}{x}$ 的影响可以忽略不计。因此，$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {1}{x}\cdot \dfrac {{a}^{x}-1}{a-1})}^{1/x}$ 的值主要取决于 $\dfrac {{a}^{x}-1}{a-1}$ 的增长速度，即 $a$ 的值。
步骤 3：考虑 $0当 $0
步骤 4：总结
综上所述，当 $a>1$ 时，极限值为 $a$；当 $0
给定的极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {1}{x}\cdot \dfrac {{a}^{x}-1}{a-1})}^{1/x}$，其中 $a>0$ 且 $a\neq 1$。首先，我们注意到当 $x\rightarrow \infty$ 时，$\dfrac {1}{x}\rightarrow 0$，而 $\dfrac {{a}^{x}-1}{a-1}$ 的行为取决于 $a$ 的值。
步骤 2：考虑 $a>1$ 的情况
当 $a>1$ 时，${a}^{x}$ 随着 $x$ 的增加而迅速增加，因此 $\dfrac {{a}^{x}-1}{a-1}$ 也迅速增加。此时，$\dfrac {1}{x}\cdot \dfrac {{a}^{x}-1}{a-1}$ 的值主要由 $\dfrac {{a}^{x}-1}{a-1}$ 决定，因为 $\dfrac {1}{x}$ 的影响可以忽略不计。因此，$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {1}{x}\cdot \dfrac {{a}^{x}-1}{a-1})}^{1/x}$ 的值主要取决于 $\dfrac {{a}^{x}-1}{a-1}$ 的增长速度，即 $a$ 的值。
步骤 3：考虑 $0
步骤 4：总结
综上所述，当 $a>1$ 时，极限值为 $a$；当 $0