题目
求：lim _(xarrow +infty )(({x)^dfrac (1{x)}-1)}^dfrac (1{ln x)}
求：
题目解答
答案
解：
,
∴
解析
步骤 1：转换为对数形式
首先，我们考虑将原问题转换为对数形式，以便于使用洛必达法则。原问题为求$\lim _{x\rightarrow +\infty }{({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)}^{\dfrac {1}{\ln x}}$，我们设$y = {({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)}^{\dfrac {1}{\ln x}}$，则$\ln y = \dfrac {1}{\ln x} \ln ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)$。因此，原问题转化为求$\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln y$。
步骤 2：应用洛必达法则
接下来，我们应用洛必达法则求解$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)}{\ln x}$。首先，我们计算分子和分母的导数。分子的导数为$\dfrac {d}{dx} \ln ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1) = \dfrac {1}{{x}^{\dfrac {1}{x}}-1} \cdot \dfrac {d}{dx} ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)$，而分母的导数为$\dfrac {d}{dx} \ln x = \dfrac {1}{x}$。因此，我们有$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)}{\ln x} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\dfrac {1}{{x}^{\dfrac {1}{x}}-1} \cdot \dfrac {d}{dx} ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)}{\dfrac {1}{x}}$。
步骤 3：简化表达式
我们继续简化表达式。首先，我们计算$\dfrac {d}{dx} ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)$。由于${x}^{\dfrac {1}{x}} = {e}^{\dfrac {\ln x}{x}}$，我们有$\dfrac {d}{dx} ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1) = \dfrac {d}{dx} {e}^{\dfrac {\ln x}{x}} = {e}^{\dfrac {\ln x}{x}} \cdot \dfrac {d}{dx} \dfrac {\ln x}{x} = {e}^{\dfrac {\ln x}{x}} \cdot \dfrac {1-\ln x}{x^2}$。因此，我们有$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)}{\ln x} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {{e}^{\dfrac {\ln x}{x}} \cdot \dfrac {1-\ln x}{x^2}}{\dfrac {1}{x}({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)}$。由于${x}^{\dfrac {1}{x}}-1 \sim \dfrac {\ln x}{x}$，我们有$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)}{\ln x} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {{e}^{\dfrac {\ln x}{x}} \cdot \dfrac {1-\ln x}{x^2}}{\dfrac {1}{x} \cdot \dfrac {\ln x}{x}} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1-\ln x}{\ln x} = -1$。
步骤 4：求解原问题
最后，我们求解原问题。由于$\ln y = \dfrac {1}{\ln x} \ln ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)$，我们有$\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln y = -1$。因此，我们有$\lim _{x\rightarrow +\infty }y = {e}^{-1}$。
首先，我们考虑将原问题转换为对数形式，以便于使用洛必达法则。原问题为求$\lim _{x\rightarrow +\infty }{({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)}^{\dfrac {1}{\ln x}}$，我们设$y = {({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)}^{\dfrac {1}{\ln x}}$，则$\ln y = \dfrac {1}{\ln x} \ln ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)$。因此，原问题转化为求$\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln y$。
步骤 2：应用洛必达法则
接下来，我们应用洛必达法则求解$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)}{\ln x}$。首先，我们计算分子和分母的导数。分子的导数为$\dfrac {d}{dx} \ln ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1) = \dfrac {1}{{x}^{\dfrac {1}{x}}-1} \cdot \dfrac {d}{dx} ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)$，而分母的导数为$\dfrac {d}{dx} \ln x = \dfrac {1}{x}$。因此，我们有$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)}{\ln x} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\dfrac {1}{{x}^{\dfrac {1}{x}}-1} \cdot \dfrac {d}{dx} ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)}{\dfrac {1}{x}}$。
步骤 3：简化表达式
我们继续简化表达式。首先，我们计算$\dfrac {d}{dx} ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)$。由于${x}^{\dfrac {1}{x}} = {e}^{\dfrac {\ln x}{x}}$，我们有$\dfrac {d}{dx} ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1) = \dfrac {d}{dx} {e}^{\dfrac {\ln x}{x}} = {e}^{\dfrac {\ln x}{x}} \cdot \dfrac {d}{dx} \dfrac {\ln x}{x} = {e}^{\dfrac {\ln x}{x}} \cdot \dfrac {1-\ln x}{x^2}$。因此，我们有$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)}{\ln x} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {{e}^{\dfrac {\ln x}{x}} \cdot \dfrac {1-\ln x}{x^2}}{\dfrac {1}{x}({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)}$。由于${x}^{\dfrac {1}{x}}-1 \sim \dfrac {\ln x}{x}$，我们有$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)}{\ln x} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {{e}^{\dfrac {\ln x}{x}} \cdot \dfrac {1-\ln x}{x^2}}{\dfrac {1}{x} \cdot \dfrac {\ln x}{x}} = \lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {1-\ln x}{\ln x} = -1$。
步骤 4：求解原问题
最后，我们求解原问题。由于$\ln y = \dfrac {1}{\ln x} \ln ({x}^{\dfrac {1}{x}}-1)$，我们有$\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln y = -1$。因此，我们有$\lim _{x\rightarrow +\infty }y = {e}^{-1}$。