题目
某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
题目解答
答案
设X是出错误的书的册数,于是
,
用泊松分布近似,参数为
,用泊松分布近似,参数为
解析
步骤 1：确定随机变量的分布
设X是出错误的书的册数，由于每本书出错的概率为0.001，且每本书是否出错是独立的，因此X服从二项分布，即$X\sim B(2000,0.001)$。
步骤 2：计算二项分布的概率
根据二项分布的概率公式，$P(X=k)=C(n,k)\times p^k\times (1-p)^{n-k}$，其中n=2000，p=0.001，k=5，代入公式得$P(X=5)=C(2000,5)\times {0.001}^{5}\times {0.999}^{1995}$。
步骤 3：使用泊松分布近似
当n很大，p很小，且np适中时，二项分布可以用泊松分布近似。这里n=2000，p=0.001，np=2，因此可以使用泊松分布近似，参数为$\lambda=np=2$。泊松分布的概率公式为$P(X=k)=\dfrac {\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$，代入$\lambda=2$，k=5，得$P(X=5)=\dfrac {2^5}{5!}e^{-2}$。
设X是出错误的书的册数，由于每本书出错的概率为0.001，且每本书是否出错是独立的，因此X服从二项分布，即$X\sim B(2000,0.001)$。
步骤 2：计算二项分布的概率
根据二项分布的概率公式，$P(X=k)=C(n,k)\times p^k\times (1-p)^{n-k}$，其中n=2000，p=0.001，k=5，代入公式得$P(X=5)=C(2000,5)\times {0.001}^{5}\times {0.999}^{1995}$。
步骤 3：使用泊松分布近似
当n很大，p很小，且np适中时，二项分布可以用泊松分布近似。这里n=2000，p=0.001，np=2，因此可以使用泊松分布近似，参数为$\lambda=np=2$。泊松分布的概率公式为$P(X=k)=\dfrac {\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$，代入$\lambda=2$，k=5，得$P(X=5)=\dfrac {2^5}{5!}e^{-2}$。