子心中-|||-密码:结果取前八位-|||-wi F (int )_(-2)^2((x)^3cos dfrac (x)(2)+dfrac (1)(2))sqrt (4-{x)^2dx}-|||-没文化你好意思蹭网吗?

考查要点：本题主要考查定积分的对称性（奇偶函数在对称区间上的积分性质）以及常见几何图形面积的积分表达。

解题核心思路：

1. 拆分被积函数：将积分拆分为两个部分，分别处理。
2. 利用奇偶性简化计算：第一部分为奇函数，在对称区间积分结果为0；第二部分为偶函数，转化为半区间积分。
3. 几何意义求解：第二部分积分对应四分之一圆的面积，直接利用圆面积公式计算。

破题关键点：

• 识别奇偶性：正确判断各部分函数的奇偶性。
• 几何图形联想：将$\sqrt{4-x^2}$与半圆方程联系，快速得出积分结果。

原题：计算定积分
$\int_{-2}^{2} \left( x^3 \cos \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right) \sqrt{4 - x^2} \, dx$

解题步骤：

1. 拆分被积函数

将积分拆分为两部分：
$\int_{-2}^{2} x^3 \cos \frac{x}{2} \cdot \sqrt{4 - x^2} \, dx \quad + \quad \int_{-2}^{2} \frac{1}{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$

2. 分析第一部分积分

• 判断奇偶性：
  $x^3$是奇函数，$\cos \frac{x}{2}$是偶函数，$\sqrt{4 - x^2}$是偶函数。
  奇函数 $\times$ 偶函数 $\times$ 偶函数 = 奇函数。
• 对称区间积分性质：
  奇函数在对称区间$[-a, a]$上的积分结果为0。
  因此，第一部分积分结果为 0。

3. 分析第二部分积分

• 判断奇偶性：
  $\frac{1}{2} \sqrt{4 - x^2}$是偶函数。
• 利用偶函数性质：
  偶函数在对称区间上的积分可转化为两倍的半区间积分：
  $2 \int_{0}^{2} \frac{1}{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx = \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$

4. 几何意义求解

• 积分几何意义：
  $\sqrt{4 - x^2}$表示半径为2的上半圆方程，积分$\int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx$对应四分之一圆的面积。
• 计算面积：
  四分之一圆面积为$\frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \pi$。

最终结果：
$0 + \pi = \pi \quad \Rightarrow \quad \text{结果取前八位为} \, 3.141592$