题目
子心中-|||-密码:结果取前八位-|||-wi F (int )_(-2)^2((x)^3cos dfrac (x)(2)+dfrac (1)(2))sqrt (4-{x)^2dx}-|||-没文化你好意思蹭网吗?
题目解答
答案
3.141592
解析
步骤 1： 分离积分
将积分分成两部分，分别计算 ${\int }_{-2}^{2}{x}^{3}\cos \dfrac {x}{2}\sqrt {4-{x}^{2}dx}$ 和 ${\int }_{-2}^{2}\dfrac {1}{2}\sqrt {4-{x}^{2}dx}$。
步骤 2： 计算第一部分
${\int }_{-2}^{2}{x}^{3}\cos \dfrac {x}{2}\sqrt {4-{x}^{2}dx}$，由于 ${x}^{3}\cos \dfrac {x}{2}$ 是奇函数，而 $\sqrt {4-{x}^{2}}$ 是偶函数，所以它们的乘积是奇函数。在对称区间 $[-2, 2]$ 上，奇函数的积分结果为0。
步骤 3： 计算第二部分
${\int }_{-2}^{2}\dfrac {1}{2}\sqrt {4-{x}^{2}dx}$，这是一个标准的积分，可以通过换元法或直接使用积分表来计算。这里，我们使用换元法，令 $x = 2\sin\theta$，则 $dx = 2\cos\theta d\theta$，积分变为 ${\int }_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac {1}{2}\sqrt {4-4\sin^2\theta}2\cos\theta d\theta = {\int }_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}2\cos^2\theta d\theta$。利用二倍角公式，$\cos^2\theta = \dfrac{1+\cos2\theta}{2}$，则积分变为 ${\int }_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos2\theta)d\theta = \left[\theta + \dfrac{1}{2}\sin2\theta\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \pi$。
将积分分成两部分，分别计算 ${\int }_{-2}^{2}{x}^{3}\cos \dfrac {x}{2}\sqrt {4-{x}^{2}dx}$ 和 ${\int }_{-2}^{2}\dfrac {1}{2}\sqrt {4-{x}^{2}dx}$。
步骤 2： 计算第一部分
${\int }_{-2}^{2}{x}^{3}\cos \dfrac {x}{2}\sqrt {4-{x}^{2}dx}$，由于 ${x}^{3}\cos \dfrac {x}{2}$ 是奇函数，而 $\sqrt {4-{x}^{2}}$ 是偶函数，所以它们的乘积是奇函数。在对称区间 $[-2, 2]$ 上，奇函数的积分结果为0。
步骤 3： 计算第二部分
${\int }_{-2}^{2}\dfrac {1}{2}\sqrt {4-{x}^{2}dx}$，这是一个标准的积分，可以通过换元法或直接使用积分表来计算。这里，我们使用换元法，令 $x = 2\sin\theta$，则 $dx = 2\cos\theta d\theta$，积分变为 ${\int }_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac {1}{2}\sqrt {4-4\sin^2\theta}2\cos\theta d\theta = {\int }_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}2\cos^2\theta d\theta$。利用二倍角公式，$\cos^2\theta = \dfrac{1+\cos2\theta}{2}$，则积分变为 ${\int }_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos2\theta)d\theta = \left[\theta + \dfrac{1}{2}\sin2\theta\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \pi$。