求由方程 arctan (y)/(x) = ln sqrt(x^2 + y^2) 确定的隐函数 y = y(x) 的导数.

我们要求由方程
$\arctan \frac{y}{x} = \ln \sqrt{x^2 + y^2}$
所确定的隐函数 $ y = y(x) $ 的导数 $ \frac{dy}{dx} $。

第一步：化简原方程

原方程为：
$\arctan \frac{y}{x} = \ln \sqrt{x^2 + y^2}$

注意到右边可以化简：
$\ln \sqrt{x^2 + y^2} = \ln (x^2 + y^2)^{1/2} = \frac{1}{2} \ln (x^2 + y^2)$

所以方程变为：
$\arctan \frac{y}{x} = \frac{1}{2} \ln (x^2 + y^2)$

第二步：两边对 $ x $ 求导（隐函数求导）

我们将方程两边对 $ x $ 求导，注意 $ y $ 是 $ x $ 的函数，即 $ y = y(x) $，所以要用链式法则。

左边：
$\frac{d}{dx} \left( \arctan \frac{y}{x} \right)$

设 $ u = \frac{y}{x} $，则
$\frac{d}{dx} \arctan u = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}$

计算 $ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) $，用商法则：
$\frac{du}{dx} = \frac{y' \cdot x - y \cdot 1}{x^2} = \frac{x y' - y}{x^2}$

而 $ u = \frac{y}{x} $，所以 $ u^2 = \frac{y^2}{x^2} $，于是：
$1 + u^2 = 1 + \frac{y^2}{x^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2}$

因此左边导数为：
$\frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^2} \cdot \frac{x y' - y}{x^2} = \frac{1}{\frac{x^2 + y^2}{x^2}} \cdot \frac{x y' - y}{x^2} = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x y' - y}{x^2} = \frac{x y' - y}{x^2 + y^2}$

右边：
$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \ln (x^2 + y^2) \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + y^2)$

计算导数：
$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = 2x + 2y y'$

所以右边导数为：
$\frac{1}{2} \cdot \frac{2x + 2y y'}{x^2 + y^2} = \frac{x + y y'}{x^2 + y^2}$

第三步：令左右两边导数相等

我们有：
$\frac{x y' - y}{x^2 + y^2} = \frac{x + y y'}{x^2 + y^2}$

因为分母相同且 $ x^2 + y^2 \ne 0 $（否则原式无定义），可以消去分母：
$x y' - y = x + y y'$

把所有含 $ y' $ 的项移到一边，其余移到另一边：
$x y' - y y' = x + y$

提取公因式：
$y'(x - y) = x + y$

解出 $ y' $：
$y' = \frac{x + y}{x - y}$

最终答案：

$\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}}$

这就是由方程 $ \arctan \frac{y}{x} = \ln \sqrt{x^2 + y^2} $ 确定的隐函数的导数。