题目
lim _(xarrow 0)dfrac (x)(x+sin x)=（）。A.2B.1C.lim _(xarrow 0)dfrac (x)(x+sin x)=D.lim _(xarrow 0)dfrac (x)(x+sin x)=
（）。
A.2
B.1
C.
D.
题目解答
答案
解：
故选：C
解析
步骤 1：应用洛必达法则
由于当$x\rightarrow 0$时，分子$x$和分母$x+\sin x$都趋于0，因此原极限属于$\frac{0}{0}$型不定式，可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$是$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型不定式，且$\lim _{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$存在，则$\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$。
步骤 2：求导
对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{1+\cos x}$。
步骤 3：计算极限
当$x\rightarrow 0$时，$\cos x\rightarrow 1$，因此$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{1+\cos x}=\dfrac {1}{1+1}=\dfrac {1}{2}$。
由于当$x\rightarrow 0$时，分子$x$和分母$x+\sin x$都趋于0，因此原极限属于$\frac{0}{0}$型不定式，可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$是$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型不定式，且$\lim _{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$存在，则$\lim _{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$。
步骤 2：求导
对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{1+\cos x}$。
步骤 3：计算极限
当$x\rightarrow 0$时，$\cos x\rightarrow 1$，因此$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{1+\cos x}=\dfrac {1}{1+1}=\dfrac {1}{2}$。