题目
概率：设随机事件A_1，A_2，A_3相互独立，且P(A_1)=0.4，P(A_2)=0.5，P(A_3)=0.7。求：(1)A_1，A_2，A_3恰有一个发生的概率。(2)A_1，A_2，A_3至少有一个发生的概率。
概率：设随机事件$$A_1$$，$$A_2$$，$$A_3$$相互独立，且$$P(A_1)=0.4$$，$$P(A_2)=0.5$$，$$P(A_3)=0.7$$。求：
(1)$$A_1$$，$$A_2$$，$$A_3$$恰有一个发生的概率。
(2)$$A_1$$，$$A_2$$，$$A_3$$至少有一个发生的概率。
题目解答
答案
$$A_1$$发生$$P(A_1)=0.4\times (1-0.5)$$$$\times (1-0.7)$$$$=0.4\times 0.5\times 0.3=0.06$$，
$$A_2$$发生，$$P(A_2)=0.09$$，
$$A_3$$发生，$$P(A_3)=0.21$$，
(1)恰有一个发生的概率有
$$P=0.06+0.09+0.21$$$$=0.36$$。
(2)至少有一个发生的概率
$$P=1-0.6×0.5×0.3=0.91$$。
解析
步骤 1：计算$$A_1$$发生，$$A_2$$和$$A_3$$不发生的概率
$$P(A_1\cap A_2^c\cap A_3^c)=P(A_1)\times P(A_2^c)\times P(A_3^c)$$
$$=0.4\times (1-0.5)\times (1-0.7)$$
$$=0.4\times 0.5\times 0.3$$
$$=0.06$$
步骤 2：计算$$A_2$$发生，$$A_1$$和$$A_3$$不发生的概率
$$P(A_2\cap A_1^c\cap A_3^c)=P(A_2)\times P(A_1^c)\times P(A_3^c)$$
$$=0.5\times (1-0.4)\times (1-0.7)$$
$$=0.5\times 0.6\times 0.3$$
$$=0.09$$
步骤 3：计算$$A_3$$发生，$$A_1$$和$$A_2$$不发生的概率
$$P(A_3\cap A_1^c\cap A_2^c)=P(A_3)\times P(A_1^c)\times P(A_2^c)$$
$$=0.7\times (1-0.4)\times (1-0.5)$$
$$=0.7\times 0.6\times 0.5$$
$$=0.21$$
步骤 4：计算$$A_1$$，$$A_2$$，$$A_3$$恰有一个发生的概率
$$P(A_1\cap A_2^c\cap A_3^c)+P(A_2\cap A_1^c\cap A_3^c)+P(A_3\cap A_1^c\cap A_2^c)$$
$$=0.06+0.09+0.21$$
$$=0.36$$
步骤 5：计算$$A_1$$，$$A_2$$，$$A_3$$至少有一个发生的概率
$$P(A_1\cup A_2\cup A_3)=1-P(A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c)$$
$$=1-P(A_1^c)\times P(A_2^c)\times P(A_3^c)$$
$$=1-(1-0.4)\times (1-0.5)\times (1-0.7)$$
$$=1-0.6\times 0.5\times 0.3$$
$$=1-0.09$$
$$=0.91$$
$$P(A_1\cap A_2^c\cap A_3^c)=P(A_1)\times P(A_2^c)\times P(A_3^c)$$
$$=0.4\times (1-0.5)\times (1-0.7)$$
$$=0.4\times 0.5\times 0.3$$
$$=0.06$$
步骤 2：计算$$A_2$$发生，$$A_1$$和$$A_3$$不发生的概率
$$P(A_2\cap A_1^c\cap A_3^c)=P(A_2)\times P(A_1^c)\times P(A_3^c)$$
$$=0.5\times (1-0.4)\times (1-0.7)$$
$$=0.5\times 0.6\times 0.3$$
$$=0.09$$
步骤 3：计算$$A_3$$发生，$$A_1$$和$$A_2$$不发生的概率
$$P(A_3\cap A_1^c\cap A_2^c)=P(A_3)\times P(A_1^c)\times P(A_2^c)$$
$$=0.7\times (1-0.4)\times (1-0.5)$$
$$=0.7\times 0.6\times 0.5$$
$$=0.21$$
步骤 4：计算$$A_1$$，$$A_2$$，$$A_3$$恰有一个发生的概率
$$P(A_1\cap A_2^c\cap A_3^c)+P(A_2\cap A_1^c\cap A_3^c)+P(A_3\cap A_1^c\cap A_2^c)$$
$$=0.06+0.09+0.21$$
$$=0.36$$
步骤 5：计算$$A_1$$，$$A_2$$，$$A_3$$至少有一个发生的概率
$$P(A_1\cup A_2\cup A_3)=1-P(A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c)$$
$$=1-P(A_1^c)\times P(A_2^c)\times P(A_3^c)$$
$$=1-(1-0.4)\times (1-0.5)\times (1-0.7)$$
$$=1-0.6\times 0.5\times 0.3$$
$$=1-0.09$$
$$=0.91$$