题目
4、设随机变量x U[0,1],求 =(e)^x 的概率密度函数。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量X的概率密度函数
随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，其概率密度函数为：
$$
f_X(x) = \begin{cases}
1, & 0 \leq x \leq 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
步骤 2：确定随机变量Y的值域
由于 $Y = e^X$，且X的取值范围为[0,1]，因此Y的取值范围为$[e^0, e^1] = [1, e]$。
步骤 3：求随机变量Y的概率密度函数
由于 $Y = e^X$ 是单调递增函数，其反函数为 $X = \ln Y$。根据概率密度函数的变换公式，有：
$$
f_Y(y) = f_X(h^{-1}(y)) \cdot |h'(y)|
$$
其中，$h^{-1}(y) = \ln y$，$h'(y) = \frac{1}{y}$。因此，$f_Y(y)$为：
$$
f_Y(y) = f_X(\ln y) \cdot \frac{1}{y}
$$
将$f_X(x)$代入，得到：
$$
f_Y(y) = \begin{cases}
\frac{1}{y}, & 1 \leq y \leq e \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，其概率密度函数为：
$$
f_X(x) = \begin{cases}
1, & 0 \leq x \leq 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
步骤 2：确定随机变量Y的值域
由于 $Y = e^X$，且X的取值范围为[0,1]，因此Y的取值范围为$[e^0, e^1] = [1, e]$。
步骤 3：求随机变量Y的概率密度函数
由于 $Y = e^X$ 是单调递增函数，其反函数为 $X = \ln Y$。根据概率密度函数的变换公式，有：
$$
f_Y(y) = f_X(h^{-1}(y)) \cdot |h'(y)|
$$
其中，$h^{-1}(y) = \ln y$，$h'(y) = \frac{1}{y}$。因此，$f_Y(y)$为：
$$
f_Y(y) = f_X(\ln y) \cdot \frac{1}{y}
$$
将$f_X(x)$代入，得到：
$$
f_Y(y) = \begin{cases}
\frac{1}{y}, & 1 \leq y \leq e \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$