题目
设A,B都是n阶对称矩阵，证明：AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
设A,B都是n阶对称矩阵，证明：AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
题目解答
答案
证明：
充分性：
有题意知，
∴AB是对称矩阵
必要性：
∵
∴
∴BA=AB
∴A,B可交换。
解析
步骤 1：充分性证明
假设AB=BA，我们需要证明AB是对称矩阵。
由于A和B都是对称矩阵，即${A}^{T}=A$和${B}^{T}=B$。
根据矩阵转置的性质，$(AB)^T=B^TA^T$。
将${A}^{T}=A$和${B}^{T}=B$代入，得到$(AB)^T=BA$。
由于AB=BA，所以$(AB)^T=AB$，即AB是对称矩阵。
步骤 2：必要性证明
假设AB是对称矩阵，我们需要证明AB=BA。
由于AB是对称矩阵，即$(AB)^T=AB$。
根据矩阵转置的性质，$(AB)^T=B^TA^T$。
将${A}^{T}=A$和${B}^{T}=B$代入，得到$(AB)^T=BA$。
由于$(AB)^T=AB$，所以AB=BA，即A和B可交换。
假设AB=BA，我们需要证明AB是对称矩阵。
由于A和B都是对称矩阵，即${A}^{T}=A$和${B}^{T}=B$。
根据矩阵转置的性质，$(AB)^T=B^TA^T$。
将${A}^{T}=A$和${B}^{T}=B$代入，得到$(AB)^T=BA$。
由于AB=BA，所以$(AB)^T=AB$，即AB是对称矩阵。
步骤 2：必要性证明
假设AB是对称矩阵，我们需要证明AB=BA。
由于AB是对称矩阵，即$(AB)^T=AB$。
根据矩阵转置的性质，$(AB)^T=B^TA^T$。
将${A}^{T}=A$和${B}^{T}=B$代入，得到$(AB)^T=BA$。
由于$(AB)^T=AB$，所以AB=BA，即A和B可交换。