题目
行列式为零,则行列式有两行(列)完全相同。A 对B 错
行列式为零,则行列式有两行(列)完全相同。 A 对 B 错
题目解答
答案
B
解析
考查要点:本题主要考查行列式为零的条件及其几何意义,重点在于理解行列式为零与矩阵秩的关系,以及线性相关的多种表现形式。
解题核心思路:
行列式为零说明矩阵对应的行列式所代表的空间体积为零,即矩阵对应的线性变换将空间压缩到更低的维度。此时矩阵的行(列)向量线性相关,但线性相关的形式不唯一,例如成比例、线性组合等,而题目中仅提到“两行(列)完全相同”这一种情况,因此需要判断该说法是否全面。
破题关键点:
通过反例验证命题是否成立。若存在行列式为零但无两行(列)完全相同的情况,则原命题错误。
关键知识点:
- 行列式为零 $\Leftrightarrow$ 矩阵的行(列)向量线性相关。
- 线性相关的形式包括:成比例、线性组合、完全相同等。
反例说明:
构造一个行列式为零但无两行(列)完全相同的矩阵,例如:
$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\2 & 4\end{pmatrix}$
计算行列式:
$|A| = (1)(4) - (2)(2) = 0$
但矩阵的两行显然不成完全相同,仅成比例(第二行是第一行的2倍)。这说明行列式为零时,行(列)向量可能仅线性相关,而非必须完全相同。