题目
例9 设alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)是四元非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量，且秩r(A)=3.alpha_(1)=(1,2,3,4)^T,alpha_(2)+alpha_(3)=(0,1,2,3)^T,则方程组Ax=b的通解是____.
例9 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$是四元非齐次线性方程组$Ax=b$的3个解向量，且秩$r(A)=3$.
$\alpha_{1}=(1,2,3,4)^{T},\alpha_{2}+\alpha_{3}=(0,1,2,3)^{T},$则方程组$Ax=b$的通解是____.
题目解答
答案
已知 $r(A) = 3$，齐次方程组 $Ax = 0$ 的基础解系含1个解向量。
由 $A\alpha_i = b$（$i=1,2,3$），得
\[ A[2\alpha_1 - (\alpha_2 + \alpha_3)] = 0. \]
代入已知向量：
\[ 2\alpha_1 - (\alpha_2 + \alpha_3) = (2, 3, 4, 5)^T. \]
故 $(2, 3, 4, 5)^T$ 为齐次方程组的基础解系。
非齐次方程组通解为：
\[ \boxed{(1, 2, 3, 4)^T + k(2, 3, 4, 5)^T}, \]
其中 $k$ 为任意常数。
解析
步骤 1：确定齐次方程组的基础解系
已知 $r(A) = 3$，则齐次方程组 $Ax = 0$ 的基础解系含1个解向量。由 $A\alpha_i = b$（$i=1,2,3$），得 \[ A[2\alpha_1 - (\alpha_2 + \alpha_3)] = 0. \] 代入已知向量： \[ 2\alpha_1 - (\alpha_2 + \alpha_3) = (2, 3, 4, 5)^T. \] 故 $(2, 3, 4, 5)^T$ 为齐次方程组的基础解系。
步骤 2：确定非齐次方程组的通解
非齐次方程组 $Ax=b$ 的通解为特解加上齐次方程组的通解。特解可以取 $\alpha_1$，齐次方程组的通解为 $k(2, 3, 4, 5)^T$，其中 $k$ 为任意常数。
已知 $r(A) = 3$，则齐次方程组 $Ax = 0$ 的基础解系含1个解向量。由 $A\alpha_i = b$（$i=1,2,3$），得 \[ A[2\alpha_1 - (\alpha_2 + \alpha_3)] = 0. \] 代入已知向量： \[ 2\alpha_1 - (\alpha_2 + \alpha_3) = (2, 3, 4, 5)^T. \] 故 $(2, 3, 4, 5)^T$ 为齐次方程组的基础解系。
步骤 2：确定非齐次方程组的通解
非齐次方程组 $Ax=b$ 的通解为特解加上齐次方程组的通解。特解可以取 $\alpha_1$，齐次方程组的通解为 $k(2, 3, 4, 5)^T$，其中 $k$ 为任意常数。