题目
判断下列命题的真假: (1)点 P到圆心 O的距离大于圆的半径是点 P在 O=外的充要条件; (2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件; (3) O=是 O=的必要不充分条件; (4) x或 y为有理数是 xy为有理数的既不充分又不必要条件.
判断下列命题的真假:
(1)点 P到圆心 O的距离大于圆的半径是点 P在
外的充要条件;
(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;
(3)
是
的必要不充分条件;
(4) x或 y为有理数是 xy为有理数的既不充分又不必要条件.
(1)点 P到圆心 O的距离大于圆的半径是点 P在
外的充要条件;
(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;
(3)
是
的必要不充分条件;
(4) x或 y为有理数是 xy为有理数的既不充分又不必要条件.
题目解答
答案
(1)真命题;(2)假命题;(3)假命题;(4)真命题.
解析
步骤 1：分析命题(1)
点 P到圆心 O的距离大于圆的半径，意味着点 P位于圆的外部。反之，如果点 P在圆的外部，那么点 P到圆心 O的距离必然大于圆的半径。因此，这个命题是真命题。
步骤 2：分析命题(2)
两个三角形的面积相等并不意味着这两个三角形全等。例如，两个底和高相等但形状不同的三角形，它们的面积相等但不全等。因此，这个命题是假命题。
步骤 3：分析命题(3)
$A\cup B=A$意味着集合 B中的所有元素都在集合 A中，即 $B\subseteq A$。但是，$B\subseteq A$并不一定意味着 $A\cup B=A$，因为集合 A中可能还有不属于集合 B的元素。因此，这个命题是假命题。
步骤 4：分析命题(4)
x或 y为有理数并不意味着 xy为有理数。例如，x=1，y=$\sqrt{2}$，x和 y中至少有一个是有理数，但 xy=$\sqrt{2}$是无理数。反之，xy为有理数也不意味着 x或 y为有理数。例如，x=$\sqrt{2}$，y=$\sqrt{2}$，xy=2是有理数，但 x和 y都是无理数。因此，这个命题是真命题。
点 P到圆心 O的距离大于圆的半径，意味着点 P位于圆的外部。反之，如果点 P在圆的外部，那么点 P到圆心 O的距离必然大于圆的半径。因此，这个命题是真命题。
步骤 2：分析命题(2)
两个三角形的面积相等并不意味着这两个三角形全等。例如，两个底和高相等但形状不同的三角形，它们的面积相等但不全等。因此，这个命题是假命题。
步骤 3：分析命题(3)
$A\cup B=A$意味着集合 B中的所有元素都在集合 A中，即 $B\subseteq A$。但是，$B\subseteq A$并不一定意味着 $A\cup B=A$，因为集合 A中可能还有不属于集合 B的元素。因此，这个命题是假命题。
步骤 4：分析命题(4)
x或 y为有理数并不意味着 xy为有理数。例如，x=1，y=$\sqrt{2}$，x和 y中至少有一个是有理数，但 xy=$\sqrt{2}$是无理数。反之，xy为有理数也不意味着 x或 y为有理数。例如，x=$\sqrt{2}$，y=$\sqrt{2}$，xy=2是有理数，但 x和 y都是无理数。因此，这个命题是真命题。