题目
二、解答下列各题1.设=arctan dfrac (y)({x)^2}，求dz。
二、解答下列各题
1.设
，求dz。
题目解答
答案
解：方程两边对x求导，得：
∴
同样的方程两边对y求导，得：
∴
综上：
解析
步骤 1：求偏导数$\dfrac{\partial z}{\partial x}$
根据复合函数求导法则，对$x$求偏导数，得到：
$$\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{1}{1 + \left(\dfrac{y}{x^2}\right)^2} \cdot \left(-\dfrac{2y}{x^3}\right) = -\dfrac{2xy}{x^4 + y^2}$$
步骤 2：求偏导数$\dfrac{\partial z}{\partial y}$
根据复合函数求导法则，对$y$求偏导数，得到：
$$\dfrac{\partial z}{\partial y} = \dfrac{1}{1 + \left(\dfrac{y}{x^2}\right)^2} \cdot \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2}{x^4 + y^2}$$
步骤 3：计算全微分$dz$
根据全微分的定义，$dz = \dfrac{\partial z}{\partial x}dx + \dfrac{\partial z}{\partial y}dy$，代入上面求得的偏导数，得到：
$$dz = -\dfrac{2xy}{x^4 + y^2}dx + \dfrac{x^2}{x^4 + y^2}dy$$
根据复合函数求导法则，对$x$求偏导数，得到：
$$\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{1}{1 + \left(\dfrac{y}{x^2}\right)^2} \cdot \left(-\dfrac{2y}{x^3}\right) = -\dfrac{2xy}{x^4 + y^2}$$
步骤 2：求偏导数$\dfrac{\partial z}{\partial y}$
根据复合函数求导法则，对$y$求偏导数，得到：
$$\dfrac{\partial z}{\partial y} = \dfrac{1}{1 + \left(\dfrac{y}{x^2}\right)^2} \cdot \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2}{x^4 + y^2}$$
步骤 3：计算全微分$dz$
根据全微分的定义，$dz = \dfrac{\partial z}{\partial x}dx + \dfrac{\partial z}{\partial y}dy$，代入上面求得的偏导数，得到：
$$dz = -\dfrac{2xy}{x^4 + y^2}dx + \dfrac{x^2}{x^4 + y^2}dy$$