1.求函数 y=√(arcsin(3x+4) 的定义域。

考查要点：本题主要考查复合函数定义域的求解，涉及平方根函数和反正弦函数的定义域条件。

解题核心思路：

1. 平方根内部表达式非负：$\arcsin(3x+4) \geq 0$；
2. 反正弦函数参数范围：$3x+4$必须属于$[-1, 1]$；
3. 综合两个条件，求出$x$的交集范围。

破题关键点：

• 明确$\arcsin t$的定义域为$t \in [-1,1]$，值域为$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$；
• $\arcsin t \geq 0$当且仅当$t \in [0,1]$；
• 将两个条件联立，解不等式组。

步骤1：分析平方根条件

$\sqrt{\arcsin(3x+4)}$要有意义，需满足：
$\arcsin(3x+4) \geq 0$
根据反正弦函数的性质，$\arcsin t \geq 0$当且仅当$t \in [0,1]$，因此：
$0 \leq 3x+4 \leq 1$

步骤2：解不等式组

将不等式拆解为两部分：

1. 下限：$3x+4 \geq 0$
   解得：$x \geq -\dfrac{4}{3}$
2. 上限：$3x+4 \leq 1$
   解得：$x \leq -1$

步骤3：求交集

综合两个条件，$x$需同时满足：
$-\dfrac{4}{3} \leq x \leq -1$