lim _(xarrow 1)(1-x)tan dfrac (pi x)(2)-|||-__.

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是处理$0 \cdot \infty$型不定式的能力，需要灵活运用洛必达法则或变量替换的方法。

解题核心思路：
当$x \to 1$时，$(1-x) \to 0$，而$\tan \frac{\pi x}{2} \to \tan \frac{\pi}{2} \to +\infty$，因此原式为$0 \cdot \infty$型不定式。需将其转化为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型，再应用洛必达法则，或通过变量替换简化表达式。

破题关键点：

1. 变形为分式形式：将原式写成$\frac{(1-x)}{\cot \frac{\pi x}{2}}$，转化为$\frac{0}{0}$型。
2. 正确求导：对分子和分母分别求导，注意$\cot \theta$的导数为$-\csc^2 \theta$。
3. 简化极限表达式：利用$\csc \frac{\pi}{2} = 1$直接代入计算最终结果。

步骤1：变形为分式形式
原式可改写为：
$\lim_{x \to 1} \frac{1-x}{\cot \frac{\pi x}{2}}.$
当$x \to 1$时，分子$1-x \to 0$，分母$\cot \frac{\pi x}{2} = \frac{\cos \frac{\pi x}{2}}{\sin \frac{\pi x}{2}} \to \frac{0}{1} = 0$，因此为$\frac{0}{0}$型不定式，满足洛必达法则的条件。

步骤2：应用洛必达法则
对分子和分母分别求导：

• 分子导数：$\frac{d}{dx}(1-x) = -1$
• 分母导数：$\frac{d}{dx} \left( \cot \frac{\pi x}{2} \right) = -\csc^2 \frac{\pi x}{2} \cdot \frac{\pi}{2}$

代入洛必达法则：
$\lim_{x \to 1} \frac{-1}{ -\frac{\pi}{2} \csc^2 \frac{\pi x}{2}} = \lim_{x \to 1} \frac{2}{\pi \csc^2 \frac{\pi x}{2}}.$

步骤3：简化表达式
$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$，因此$\csc^2 \frac{\pi x}{2} = \frac{1}{\sin^2 \frac{\pi x}{2}}$。当$x \to 1$时，$\sin \frac{\pi x}{2} \to \sin \frac{\pi}{2} = 1$，故：
$\lim_{x \to 1} \frac{2}{\pi \cdot \frac{1}{\sin^2 \frac{\pi x}{2}}} = \frac{2}{\pi} \cdot \lim_{x \to 1} \sin^2 \frac{\pi x}{2} = \frac{2}{\pi} \cdot 1^2 = \frac{2}{\pi}.$