题目
lim _(xarrow 1)(1-x)tan dfrac (pi x)(2)-|||-__.
.
题目解答
答案
利用洛必达法则，对于极限
故答案为：
解析
步骤 1：确定极限类型
观察极限$\lim _{x\rightarrow 1}(1-x)\tan \dfrac {\pi x}{2}$，当$x\rightarrow 1$时，$(1-x)\rightarrow 0$，而$\tan \dfrac {\pi x}{2}$在$x=1$时为无穷大，因此这是一个$0\cdot\infty$型的极限，需要转换成$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型的极限，以便使用洛必达法则。
步骤 2：转换极限形式
将原极限转换为$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{(1-x)}{\cot \dfrac {\pi x}{2}}$，这样就变成了$\frac{0}{0}$型的极限，可以使用洛必达法则。
步骤 3：应用洛必达法则
对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{-1}{-\dfrac{\pi}{2}\csc^2 \dfrac {\pi x}{2}}$，进一步简化为$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{2}{\pi}\sin^2 \dfrac {\pi x}{2}$。
步骤 4：计算极限值
将$x=1$代入上式，得到$\dfrac{2}{\pi}\sin^2 \dfrac {\pi}{2}=\dfrac{2}{\pi}\cdot1=\dfrac{2}{\pi}$。
观察极限$\lim _{x\rightarrow 1}(1-x)\tan \dfrac {\pi x}{2}$，当$x\rightarrow 1$时，$(1-x)\rightarrow 0$，而$\tan \dfrac {\pi x}{2}$在$x=1$时为无穷大，因此这是一个$0\cdot\infty$型的极限，需要转换成$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型的极限，以便使用洛必达法则。
步骤 2：转换极限形式
将原极限转换为$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{(1-x)}{\cot \dfrac {\pi x}{2}}$，这样就变成了$\frac{0}{0}$型的极限，可以使用洛必达法则。
步骤 3：应用洛必达法则
对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{-1}{-\dfrac{\pi}{2}\csc^2 \dfrac {\pi x}{2}}$，进一步简化为$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac{2}{\pi}\sin^2 \dfrac {\pi x}{2}$。
步骤 4：计算极限值
将$x=1$代入上式，得到$\dfrac{2}{\pi}\sin^2 \dfrac {\pi}{2}=\dfrac{2}{\pi}\cdot1=\dfrac{2}{\pi}$。