15.设连续随机变量X的分布函数为-|||-F(x)= ) 0,xlt 0, 4(x)^2,0leqslant xlt 1 . ,-|||-试求:-|||-(1)系数A;-|||-(2)X落在区间(0.3,0.7)内的概率;-|||-(3)X的密度函数.

考查要点：本题主要考查连续型随机变量的分布函数性质、概率密度函数的求导关系，以及利用分布函数计算特定区间概率。

解题核心思路：

1. 确定系数A：利用分布函数在$x \to +\infty$时极限为1的性质，结合分段点$x=1$处的连续性求解。
2. 计算区间概率：通过分布函数的差值$F(b) - F(a)$直接求解。
3. 求密度函数：对分布函数求导，注意分段点处的导数是否存在突变。

破题关键点：

• 分布函数的归一性：$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$。
• 分段点连续性：确保分布函数在分段点$x=0$和$x=1$处连续。
• 导数计算：在区间$0 \leq x < 1$内对$F(x)$求导得到密度函数。

第（1）题：求系数A

利用分布函数的归一性

当$x \geq 1$时，$F(x) = 1$，而当$x \to 1^-$时，$F(x) = A \cdot 1^2 = A$。
根据分布函数的连续性，需满足$A = 1$。

验证分段点连续性

• 在$x=0$处：左极限为$0$，右极限为$A \cdot 0^2 = 0$，连续。
• 在$x=1$处：左极限为$A \cdot 1^2 = A$，右极限为$1$，故$A = 1$。

结论：$A = 1$。

第（2）题：求$P(0.3 < X < 0.7)$

计算分布函数差值

$P(0.3 < X < 0.7) = F(0.7) - F(0.3)$

代入分段函数表达式

• 当$0 \leq x < 1$时，$F(x) = x^2$（因$A=1$）。
• $F(0.7) = 0.7^2 = 0.49$，$F(0.3) = 0.3^2 = 0.09$。

求差值

$0.49 - 0.09 = 0.4$

结论：概率为$0.4$。

第（3）题：求密度函数$p(x)$

对分布函数求导

密度函数$p(x)$是分布函数$F(x)$的导数：
$p(x) = \frac{d}{dx} F(x)$

分段求导

• 当$x < 0$时：$F(x) = 0$，故$p(x) = 0$。
• 当$0 \leq x < 1$时：$F(x) = x^2$，导数为$p(x) = 2x$。
• 当$x \geq 1$时：$F(x) = 1$，故$p(x) = 0$。

验证分段点导数

• 在$x=0$处：左导数为$0$，右导数为$2 \cdot 0 = 0$，连续。
• 在$x=1$处：左导数为$2 \cdot 1 = 2$，右导数为$0$，但此处无概率质量。

结论：密度函数为$p(x) = 2x$，$0 < x < 1$。