题目
15.设连续随机变量X的分布函数为-|||-F(x)= ) 0,xlt 0, 4(x)^2,0leqslant xlt 1 . ,-|||-试求:-|||-(1)系数A;-|||-(2)X落在区间(0.3,0.7)内的概率;-|||-(3)X的密度函数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求系数A
根据分布函数的性质，当x趋向于1时，F(x)应该等于1。因此，我们有：
$$
F(1) = A(1)^2 = 1
$$
解得：
$$
A = 1
$$
步骤 2：求X落在区间(0.3,0.7)内的概率
X落在区间(0.3,0.7)内的概率等于F(0.7)减去F(0.3)：
$$
P(0.3 < X < 0.7) = F(0.7) - F(0.3) = 1(0.7)^2 - 1(0.3)^2 = 0.49 - 0.09 = 0.4
$$
步骤 3：求X的密度函数
分布函数的导数就是密度函数，因此我们对F(x)求导：
$$
f(x) = \frac{d}{dx}F(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x
$$
其中，$0\leqslant x\lt 1$。
根据分布函数的性质，当x趋向于1时，F(x)应该等于1。因此，我们有：
$$
F(1) = A(1)^2 = 1
$$
解得：
$$
A = 1
$$
步骤 2：求X落在区间(0.3,0.7)内的概率
X落在区间(0.3,0.7)内的概率等于F(0.7)减去F(0.3)：
$$
P(0.3 < X < 0.7) = F(0.7) - F(0.3) = 1(0.7)^2 - 1(0.3)^2 = 0.49 - 0.09 = 0.4
$$
步骤 3：求X的密度函数
分布函数的导数就是密度函数，因此我们对F(x)求导：
$$
f(x) = \frac{d}{dx}F(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x
$$
其中，$0\leqslant x\lt 1$。