[题目]-|||-计算2n阶排列 ... (2n-1)246... (2n) 的逆序数,并确-|||-定其奇偶性.

考查要点：本题主要考查排列的逆序数计算及奇偶性的判断。
解题核心思路：

1. 逆序数定义：排列中所有逆序对的总数。
2. 排列结构分析：前n个位置为奇数递增序列，后n个位置为偶数递增序列。
3. 关键观察：奇数部分内部和偶数部分内部均无逆序，逆序仅由奇数与偶数之间的比较产生。
4. 逆序数计算：每个奇数后比它小的偶数个数之和。
5. 奇偶性判断：根据逆序数的奇偶性，结合模4的分类讨论。

逆序数计算

1. 奇数部分内部：奇数按递增顺序排列，无逆序，贡献为$0$。
2. 偶数部分内部：偶数按递增顺序排列，无逆序，贡献为$0$。
3. 奇数与偶数之间的逆序：
   • 第$i$个奇数为$2i-1$，其后有$n$个偶数$2,4,6,\dots,2n$。
   • 比$2i-1$小的偶数为$2,4,\dots,2(i-1)$，共$i-1$个。
   • 总逆序数为$\sum_{i=1}^{n} (i-1) = 0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1) = \dfrac{n(n-1)}{2}$。

奇偶性判断

逆序数$\dfrac{n(n-1)}{2}$的奇偶性取决于$n$的模4情况：

• 当$n=4k$或$n=4k+1$时：$\dfrac{n(n-1)}{2}$为偶数，排列为偶排列。
• 当$n=4k+2$或$n=4k+3$时：$\dfrac{n(n-1)}{2}$为奇数，排列为奇排列。