题目
2.13 描述系统的方程为-|||-'(t)+2y(t)=f''(t)-|||-求其冲激响应和阶跃响应。
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解冲激响应
冲激响应 $h(t)$ 是当输入为单位冲激函数 $\delta(t)$ 时系统的输出。因此，我们首先将 $f(t)$ 替换为 $\delta(t)$，并求解 $y(t)$。
$$
y'(t) + 2y(t) = \delta''(t)
$$
步骤 2：求解微分方程
这是一个一阶线性非齐次微分方程。我们首先求解对应的齐次方程 $y'(t) + 2y(t) = 0$，得到通解 $y_h(t) = Ce^{-2t}$，其中 $C$ 是积分常数。然后，我们求解非齐次方程的特解。由于 $\delta''(t)$ 是 $\delta(t)$ 的二阶导数，我们假设特解的形式为 $y_p(t) = A\delta(t) + B\delta'(t) + C\delta''(t)$。将 $y_p(t)$ 代入原方程，得到 $A = 1$，$B = -2$，$C = 4$。因此，特解为 $y_p(t) = \delta(t) - 2\delta'(t) + 4\delta''(t)$。最后，冲激响应为 $h(t) = y_h(t) + y_p(t) = Ce^{-2t} + \delta(t) - 2\delta'(t) + 4\delta''(t)$。由于 $h(t)$ 在 $t=0$ 时应满足初始条件 $h(0) = 0$，$h'(0) = 1$，我们得到 $C = 0$。因此，冲激响应为 $h(t) = \delta(t) - 2\delta'(t) + 4\delta''(t)$。
步骤 3：求解阶跃响应
阶跃响应 $g(t)$ 是当输入为单位阶跃函数 $u(t)$ 时系统的输出。因此，我们首先将 $f(t)$ 替换为 $u(t)$，并求解 $y(t)$。
$$
y'(t) + 2y(t) = u''(t)
$$
步骤 4：求解微分方程
这是一个一阶线性非齐次微分方程。我们首先求解对应的齐次方程 $y'(t) + 2y(t) = 0$，得到通解 $y_h(t) = Ce^{-2t}$，其中 $C$ 是积分常数。然后，我们求解非齐次方程的特解。由于 $u''(t)$ 是 $u(t)$ 的二阶导数，我们假设特解的形式为 $y_p(t) = A\delta(t) + B\delta'(t) + C\delta''(t)$。将 $y_p(t)$ 代入原方程，得到 $A = 1$，$B = -2$，$C = 4$。因此，特解为 $y_p(t) = \delta(t) - 2\delta'(t) + 4\delta''(t)$。最后，阶跃响应为 $g(t) = y_h(t) + y_p(t) = Ce^{-2t} + \delta(t) - 2\delta'(t) + 4\delta''(t)$。由于 $g(t)$ 在 $t=0$ 时应满足初始条件 $g(0) = 0$，$g'(0) = 1$，我们得到 $C = 0$。因此，阶跃响应为 $g(t) = \delta(t) - 2\delta'(t) + 4\delta''(t)$。
冲激响应 $h(t)$ 是当输入为单位冲激函数 $\delta(t)$ 时系统的输出。因此，我们首先将 $f(t)$ 替换为 $\delta(t)$，并求解 $y(t)$。
$$
y'(t) + 2y(t) = \delta''(t)
$$
步骤 2：求解微分方程
这是一个一阶线性非齐次微分方程。我们首先求解对应的齐次方程 $y'(t) + 2y(t) = 0$，得到通解 $y_h(t) = Ce^{-2t}$，其中 $C$ 是积分常数。然后，我们求解非齐次方程的特解。由于 $\delta''(t)$ 是 $\delta(t)$ 的二阶导数，我们假设特解的形式为 $y_p(t) = A\delta(t) + B\delta'(t) + C\delta''(t)$。将 $y_p(t)$ 代入原方程，得到 $A = 1$，$B = -2$，$C = 4$。因此，特解为 $y_p(t) = \delta(t) - 2\delta'(t) + 4\delta''(t)$。最后，冲激响应为 $h(t) = y_h(t) + y_p(t) = Ce^{-2t} + \delta(t) - 2\delta'(t) + 4\delta''(t)$。由于 $h(t)$ 在 $t=0$ 时应满足初始条件 $h(0) = 0$，$h'(0) = 1$，我们得到 $C = 0$。因此，冲激响应为 $h(t) = \delta(t) - 2\delta'(t) + 4\delta''(t)$。
步骤 3：求解阶跃响应
阶跃响应 $g(t)$ 是当输入为单位阶跃函数 $u(t)$ 时系统的输出。因此，我们首先将 $f(t)$ 替换为 $u(t)$，并求解 $y(t)$。
$$
y'(t) + 2y(t) = u''(t)
$$
步骤 4：求解微分方程
这是一个一阶线性非齐次微分方程。我们首先求解对应的齐次方程 $y'(t) + 2y(t) = 0$，得到通解 $y_h(t) = Ce^{-2t}$，其中 $C$ 是积分常数。然后，我们求解非齐次方程的特解。由于 $u''(t)$ 是 $u(t)$ 的二阶导数，我们假设特解的形式为 $y_p(t) = A\delta(t) + B\delta'(t) + C\delta''(t)$。将 $y_p(t)$ 代入原方程，得到 $A = 1$，$B = -2$，$C = 4$。因此，特解为 $y_p(t) = \delta(t) - 2\delta'(t) + 4\delta''(t)$。最后，阶跃响应为 $g(t) = y_h(t) + y_p(t) = Ce^{-2t} + \delta(t) - 2\delta'(t) + 4\delta''(t)$。由于 $g(t)$ 在 $t=0$ 时应满足初始条件 $g(0) = 0$，$g'(0) = 1$，我们得到 $C = 0$。因此，阶跃响应为 $g(t) = \delta(t) - 2\delta'(t) + 4\delta''(t)$。