题目
[题目]二重积分JIpxydxdy(其中D, leqslant yleqslant (x)^2,-|||-leqslant xleqslant 1) 的值为 ()-|||-A. dfrac (1)(6)-|||-B. dfrac (1)(12)-|||-C. dfrac (1)(2)-|||-D. dfrac (1)(4)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
根据题目条件，积分区域D由$0\leqslant y\leqslant {x}^{2}$ 和 $0\leqslant x\leqslant 1$ 确定。这意味着y的取值范围依赖于x的取值，而x的取值范围是固定的。
步骤 2：设置二重积分
二重积分可以表示为 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^2} xxy \, dy \, dx$。这里，外层积分是关于x的，内层积分是关于y的。
步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分 $\int_{0}^{x^2} xxy \, dy$。由于x和y是独立的变量，可以将x^2视为常数，因此积分变为 $\int_{0}^{x^2} x^2y \, dy = x^2 \int_{0}^{x^2} y \, dy$。计算这个积分得到 $\frac{1}{2}x^2(x^2)^2 = \frac{1}{2}x^6$。
步骤 4：计算外层积分
接下来计算外层积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{2}x^6 \, dx$。这个积分的结果是 $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^6 \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}x^7 \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{14}$。
根据题目条件，积分区域D由$0\leqslant y\leqslant {x}^{2}$ 和 $0\leqslant x\leqslant 1$ 确定。这意味着y的取值范围依赖于x的取值，而x的取值范围是固定的。
步骤 2：设置二重积分
二重积分可以表示为 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^2} xxy \, dy \, dx$。这里，外层积分是关于x的，内层积分是关于y的。
步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分 $\int_{0}^{x^2} xxy \, dy$。由于x和y是独立的变量，可以将x^2视为常数，因此积分变为 $\int_{0}^{x^2} x^2y \, dy = x^2 \int_{0}^{x^2} y \, dy$。计算这个积分得到 $\frac{1}{2}x^2(x^2)^2 = \frac{1}{2}x^6$。
步骤 4：计算外层积分
接下来计算外层积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{2}x^6 \, dx$。这个积分的结果是 $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^6 \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}x^7 \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{14}$。