题目

11.两人约定上午 9:00-10:00 在公园会面,求一人要等另一人 30 min 以上的概率.

题目解答

答案

11.设两人到达公园的时刻分别为x,y,则 $0\leqslant x\leqslant 60,0\leqslant y\leqslant 60$, 且 $|x-y|\geqslant 30$, 如图所示,由几何概型的计算公式得 $P(A)=\dfrac {{S}_{有用}}{{S}_{四边形}}=\dfrac {2\times \dfrac {1}{2}\times 30\times 30}{60\times 60}=\dfrac {1}{4}$ y 60 30 O 30 60 x (第11题)


$\dfrac {1}{4}$

解析

考查要点：本题属于几何概型问题，考查学生对二维几何模型的理解和应用能力，以及绝对值不等式的几何意义。

解题核心思路：

  1. 建立坐标系：将两人到达时间分别设为$x$和$y$，样本空间为边长为60的正方形区域。
  2. 确定约束条件：要求“一人等待另一人超过30分钟”，即$|x - y| \geq 30$。
  3. 计算概率：通过几何图形面积比（有效面积与总面积之比）求解概率。

破题关键点：

  • 几何模型的构建：明确样本空间为正方形，约束条件对应两个三角形区域。
  • 面积计算：正确计算满足条件的区域面积，避免遗漏对称区域。

设两人到达公园的时刻分别为$x$和$y$，满足$0 \leq x \leq 60$，$0 \leq y \leq 60$。要求“一人等待另一人超过30分钟”，即$|x - y| \geq 30$。

  1. 样本空间：
    所有可能的到达时间组合构成边长为60的正方形，面积为：
    $S_{\text{总面积}} = 60 \times 60 = 3600$

  2. 有效区域：

    • 当$x - y \geq 30$时，$x$的范围是$[30, 60]$，$y$的范围是$[0, x - 30]$，形成一个直角边为30的三角形，面积为：
      $S_1 = \frac{1}{2} \times 30 \times 30 = 450$
    • 当$y - x \geq 30$时，同理形成另一个三角形，面积也为450。
    • 总有效面积为两个三角形面积之和：
      $S_{\text{有效}} = 450 + 450 = 900$

  3. 概率计算：
    $P = \frac{S_{\text{有效}}}{S_{\text{总面积}}} = \frac{900}{3600} = \frac{1}{4}$