[例31) 1988,数三)求极限 lim _(xarrow 1)(1-(x)^2)tan dfrac (pi )(2)x,

步骤 1：将原式变形
原式可以写成 $\lim _{x\rightarrow 1}(1-{x}^{2})\tan \dfrac {\pi }{2}x$ $=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(1-{x}^{2})\sin \dfrac {\pi }{2}x}{\cos \dfrac {\pi }{2}x}$。
步骤 2：将分子分解
分子 $(1-{x}^{2})$ 可以分解为 $(1+x)(1-x)$，因此原式变为 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(1+x)(1-x)\sin \dfrac {\pi }{2}x}{\cos \dfrac {\pi }{2}x}$。
步骤 3：利用等价无穷小替换
当 $x\rightarrow 1$ 时，$\sin \dfrac {\pi }{2}x$ 与 $\dfrac {\pi }{2}(x-1)$ 等价，$\cos \dfrac {\pi }{2}x$ 与 $-\dfrac {\pi }{2}(x-1)$ 等价，因此原式可以写成 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(1+x)(1-x)\cdot \dfrac {\pi }{2}(x-1)}{-\dfrac {\pi }{2}(x-1)}$。
步骤 4：化简并求极限
化简后得到 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(1+x)(1-x)}{-1}$，代入 $x=1$ 得到 $\dfrac {(1+1)(1-1)}{-1}=\dfrac {2\cdot 0}{-1}=0$。