题目

设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？

题目解答

答案

解:设事件 $A_1,A_2$ 分别表示从甲、乙袋中取到白球，则 $\begin{aligned}P(A_1)&=\frac{n}{n+m},P(\overline{A_1})=\frac{m}{n+m},P(A_2|A_1)=\\\frac{N+1}{N+M+1},P(A_2|\overline{A_1})&=\frac{N}{N+M+1}\end{aligned}$

由全概率公式，可得取到（即从乙袋中取到）白球的概率是：

$\begin{gathered} P(A_{2})=P(A_{2}|A_{1})P(A_{1})+P(A_{2}|\overline{A_{1}})P(\overline{A_{1}}) \\ \begin{aligned}=\frac{N+1}{M+N+1}\bullet\frac{n}{n+m}+\frac{N}{N+M+1}\bullet\frac{m}{m+n}.\end{aligned} \\ \end{gathered}$

解析

步骤 1：定义事件
设事件A1表示从甲袋中取到白球，事件A2表示从乙袋中取到白球。事件$\overline{A_1}$表示从甲袋中取到红球。

步骤 2：计算事件A1和$\overline{A_1}$的概率
从甲袋中取到白球的概率为$P(A_1) = \dfrac{n}{n+m}$，从甲袋中取到红球的概率为$P(\overline{A_1}) = \dfrac{m}{n+m}$。

步骤 3：计算条件概率
从乙袋中取到白球的条件概率，即在甲袋中取到白球放入乙袋后，从乙袋中取到白球的概率为$P(A_2|A_1) = \dfrac{N+1}{N+M+1}$。在甲袋中取到红球放入乙袋后，从乙袋中取到白球的概率为$P(A_2|\overline{A_1}) = \dfrac{N}{N+M+1}$。

步骤 4：应用全概率公式
根据全概率公式，取到白球的概率为$P(A_2) = P(A_1)P(A_2|A_1) + P(\overline{A_1})P(A_2|\overline{A_1})$。

步骤 5：计算取到白球的概率
将步骤2和步骤3中的概率值代入步骤4中的公式，得到$P(A_2) = \dfrac{n}{n+m} \cdot \dfrac{N+1}{N+M+1} + \dfrac{m}{n+m} \cdot \dfrac{N}{N+M+1}$。