题目
设为阶矩阵，且满足，则
设
为
阶矩阵，且满足
，则
题目解答
答案
∵，
∴
∴
∴
即：
∴
故答案选择C项。
解析
步骤 1：利用已知条件进行变形
已知${A}^{2}+A+E=0$，可以变形为${A}^{2}+A=-E$。
步骤 2：构造目标表达式
为了求${(A-E)}^{-1}$，我们希望构造出$(A-E)X=E$的形式，其中$X$是我们要找的逆矩阵。
步骤 3：利用已知条件构造等式
由${A}^{2}+A+E=0$，可以变形为${A}^{2}-2A+E+3A=0$，即${(A-E)}^{2}+3(A-E)=-3E$。
步骤 4：求解逆矩阵
从${(A-E)}^{2}+3(A-E)=-3E$，可以得到$(A-E)(A-E+3E)=-3E$，即$(A-E)(A+2E)=-3E$。
因此，$(A-E)[ -\dfrac {1}{3}(A+2E)] =E$，所以${(A-E)}^{-1}=-\dfrac {1}{3}(A+2E)$。
已知${A}^{2}+A+E=0$，可以变形为${A}^{2}+A=-E$。
步骤 2：构造目标表达式
为了求${(A-E)}^{-1}$，我们希望构造出$(A-E)X=E$的形式，其中$X$是我们要找的逆矩阵。
步骤 3：利用已知条件构造等式
由${A}^{2}+A+E=0$，可以变形为${A}^{2}-2A+E+3A=0$，即${(A-E)}^{2}+3(A-E)=-3E$。
步骤 4：求解逆矩阵
从${(A-E)}^{2}+3(A-E)=-3E$，可以得到$(A-E)(A-E+3E)=-3E$，即$(A-E)(A+2E)=-3E$。
因此，$(A-E)[ -\dfrac {1}{3}(A+2E)] =E$，所以${(A-E)}^{-1}=-\dfrac {1}{3}(A+2E)$。