题目
阶矩阵互换两 列得到第三行乘以得到已知,则______
阶矩阵
互换
两 列得到
第三行乘以
得到
已知
,则
______
题目解答
答案
由初等矩阵的左行右列定理可知，互换两 列得到
，即
;第三行乘以得到，即
，则有
由矩阵的逆的性质，可得
由初等矩阵逆的性质可知
又,则
故
综上所述，本题正确答案为
解析
步骤 1：确定矩阵B
互换矩阵A的第2列和第3列得到矩阵B，即$B={A}_{23}$。根据矩阵A的定义，我们有：
$$
A = \left (\begin{matrix} 4& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.
$$
互换第2列和第3列后，得到：
$$
B = \left (\begin{matrix} 4& 0& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 1& 0\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 2：确定矩阵$\sigma$
矩阵B的第3行乘以$\dfrac {1}{2}$得到矩阵$\sigma$，即$\sigma = {E}_{3}(\dfrac {1}{2})B$。根据矩阵B的定义，我们有：
$$
\sigma = \left (\begin{matrix} 4& 0& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& \dfrac{1}{2}& 0\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 3：计算矩阵$\sigma$的逆矩阵${\sigma}^{-1}$
根据矩阵的逆的性质，我们有${\sigma}^{-1} = {E}_{23}^{-1}{A}^{-1}{E}_{3}(\dfrac {1}{2})^{-1}$。根据初等矩阵的逆的性质，我们有：
$$
{E}_{23}^{-1} = {E}_{23} = \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{matrix} ) \right.
$$
$$
{E}_{3}(\dfrac {1}{2})^{-1} = {E}_{3}(2) = \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{matrix} ) \right.
$$
根据矩阵A的定义，我们有：
$$
{A}^{-1} = \left (\begin{matrix} \dfrac {1}{4}& 0& 0\\ 0& \dfrac {1}{2}& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.
$$
将上述矩阵相乘，我们得到：
$$
{\sigma}^{-1} = {E}_{23}^{-1}{A}^{-1}{E}_{3}(\dfrac {1}{2})^{-1} = \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{matrix} ) \right. \left (\begin{matrix} \dfrac {1}{4}& 0& 0\\ 0& \dfrac {1}{2}& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{matrix} ) \right.
$$
$$
= \left (\begin{matrix} \dfrac {1}{4}& 0& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& \dfrac {1}{2}& 0\end{matrix} ) \right.
$$
互换矩阵A的第2列和第3列得到矩阵B，即$B={A}_{23}$。根据矩阵A的定义，我们有：
$$
A = \left (\begin{matrix} 4& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.
$$
互换第2列和第3列后，得到：
$$
B = \left (\begin{matrix} 4& 0& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 1& 0\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 2：确定矩阵$\sigma$
矩阵B的第3行乘以$\dfrac {1}{2}$得到矩阵$\sigma$，即$\sigma = {E}_{3}(\dfrac {1}{2})B$。根据矩阵B的定义，我们有：
$$
\sigma = \left (\begin{matrix} 4& 0& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& \dfrac{1}{2}& 0\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 3：计算矩阵$\sigma$的逆矩阵${\sigma}^{-1}$
根据矩阵的逆的性质，我们有${\sigma}^{-1} = {E}_{23}^{-1}{A}^{-1}{E}_{3}(\dfrac {1}{2})^{-1}$。根据初等矩阵的逆的性质，我们有：
$$
{E}_{23}^{-1} = {E}_{23} = \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{matrix} ) \right.
$$
$$
{E}_{3}(\dfrac {1}{2})^{-1} = {E}_{3}(2) = \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{matrix} ) \right.
$$
根据矩阵A的定义，我们有：
$$
{A}^{-1} = \left (\begin{matrix} \dfrac {1}{4}& 0& 0\\ 0& \dfrac {1}{2}& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right.
$$
将上述矩阵相乘，我们得到：
$$
{\sigma}^{-1} = {E}_{23}^{-1}{A}^{-1}{E}_{3}(\dfrac {1}{2})^{-1} = \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{matrix} ) \right. \left (\begin{matrix} \dfrac {1}{4}& 0& 0\\ 0& \dfrac {1}{2}& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix} ) \right. \left (\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{matrix} ) \right.
$$
$$
= \left (\begin{matrix} \dfrac {1}{4}& 0& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& \dfrac {1}{2}& 0\end{matrix} ) \right.
$$