5.(单选题) 设 z = varphi(x + y) + psi(x - y), 则必有()A. z_(xx)^primeprime + z_(yy)^primeprime = 0B. z_(xx)^primeprime - z_(yy)^primeprime = 0C. z_(xy)^primeprime = 0D. z_(xx)^primeprime - z_(xy)^primeprime = 0

本题考查二阶偏导数的计算以及复合函数求导法则的应用。关键在于正确应用链式法则，对复合函数进行两次求导，并分析各选项的表达式是否必然成立。

核心思路：

1. 引入中间变量 $u = x + y$ 和 $v = x - y$，将原函数 $z = \varphi(u) + \psi(v)$ 转化为关于 $u$ 和 $v$ 的函数。
2. 分别计算 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的二阶偏导数 $z_{xx}$、$z_{yy}$、$z_{xy}$。
3. 代入选项中的表达式，判断哪一个选项在任意函数 $\varphi$ 和 $\psi$ 下恒成立。

破题关键：

• 链式法则的正确应用，注意中间变量对 $x$ 和 $y$ 的偏导数。
• 二阶偏导数的对称性，如 $z_{xy} = z_{yx}$ 的一般性结论是否适用。

设 $u = x + y$，$v = x - y$，则 $z = \varphi(u) + \psi(v)$。计算二阶偏导数如下：

计算一阶偏导数

• $\frac{\partial z}{\partial x} = \varphi'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \psi'(v) \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = \varphi'(u) + \psi'(v)$
• $\frac{\partial z}{\partial y} = \varphi'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \psi'(v) \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = \varphi'(u) - \psi'(v)$

计算二阶偏导数

• $z_{xx}$：
  $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \varphi'(u) + \psi'(v) \right) = \varphi''(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \psi''(v) \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = \varphi''(u) + \psi''(v)$
• $z_{yy}$：
  $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \varphi'(u) - \psi'(v) \right) = \varphi''(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial y} - \psi''(v) \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = \varphi''(u) + \psi''(v)$
• $z_{xy}$：
  $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \varphi'(u) - \psi'(v) \right) = \varphi''(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} - \psi''(v) \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = \varphi''(u) - \psi''(v)$

分析选项

• 选项A：$z_{xx} + z_{yy} = 2\varphi''(u) + 2\psi''(v) \neq 0$（不成立）
• 选项B：$z_{xx} - z_{yy} = (\varphi''(u) + \psi''(v)) - (\varphi''(u) + \psi''(v)) = 0$（成立）
• 选项C：$z_{xy} = \varphi''(u) - \psi''(v) \neq 0$（不成立）
• 选项D：$z_{xx} - z_{xy} = 2\psi''(v) \neq 0$（不成立）

结论：只有选项B恒成立。