求下列不定积分：int ln (sqrt (1+{x)^2}-x)dx。

步骤 1：应用分部积分法
首先，我们应用分部积分法来解决这个问题。分部积分法的公式是 $\int u dv = uv - \int v du$。在这个问题中，我们选择 $u = \ln (\sqrt {1+{x}^{2}}-x)$ 和 $dv = dx$。因此，$du = \dfrac {d(\sqrt {1+{x}^{2}}-x)}{\sqrt {1+{x}^{2}}-x}$ 和 $v = x$。
步骤 2：计算 $uv$
根据分部积分法，我们首先计算 $uv$，即 $x\ln (\sqrt {1+{x}^{2}}-x)$。
步骤 3：计算 $\int v du$
接下来，我们计算 $\int v du$，即 $\int x \dfrac {d(\sqrt {1+{x}^{2}}-x)}{\sqrt {1+{x}^{2}}-x} dx$。为了简化这个积分，我们注意到 $d(\sqrt {1+{x}^{2}}-x) = \dfrac {x}{\sqrt {1+{x}^{2}}} dx - dx$。因此，$\int x \dfrac {d(\sqrt {1+{x}^{2}}-x)}{\sqrt {1+{x}^{2}}-x} dx = \int \dfrac {x(x-\sqrt {1+{x}^{2}})}{\sqrt {1+{x}^{2}}(\sqrt {1+{x}^{2}}-x)} dx$。
步骤 4：简化积分
我们进一步简化积分 $\int \dfrac {x(x-\sqrt {1+{x}^{2}})}{\sqrt {1+{x}^{2}}(\sqrt {1+{x}^{2}}-x)} dx$。注意到分子可以写成 $x^2 - x\sqrt {1+{x}^{2}}$，因此积分可以写成 $\int \dfrac {x^2 - x\sqrt {1+{x}^{2}}}{\sqrt {1+{x}^{2}}(\sqrt {1+{x}^{2}}-x)} dx$。这可以进一步简化为 $\int \dfrac {x}{\sqrt {1+{x}^{2}}} dx$。
步骤 5：计算 $\int \dfrac {x}{\sqrt {1+{x}^{2}}} dx$
最后，我们计算 $\int \dfrac {x}{\sqrt {1+{x}^{2}}} dx$。我们可以通过代换 $u = 1+x^2$ 来解决这个积分。因此，$du = 2x dx$，所以 $\int \dfrac {x}{\sqrt {1+{x}^{2}}} dx = \int \dfrac {1}{2\sqrt {u}} du = \sqrt {u} + C = \sqrt {1+{x}^{2}} + C$。