题目
2.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少?(Phi(2.5)=0.9938).
2.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少?$(\Phi(2.5)=0.9938)$.
题目解答
答案
设 $ X $ 为100根木柱中短于3米的根数，$ X $ 服从二项分布 $ B(100, 0.2) $。期望值 $ \mu = np = 20 $，标准差 $ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = 4 $。
利用正态近似，转换为标准正态变量 $ Z = \frac{X - 20}{4} $，则
\[
P(X \geq 30) = P\left(Z \geq \frac{30 - 20}{4}\right) = P(Z \geq 2.5) = 1 - \Phi(2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062
\]
**答案：** $\boxed{0.0062}$
解析
步骤 1：定义随机变量
设 $ X $ 为100根木柱中短于3米的根数，$ X $ 服从二项分布 $ B(100, 0.2) $，其中 $ n = 100 $，$ p = 0.2 $。
步骤 2：计算期望值和标准差
期望值 $ \mu = np = 20 $，标准差 $ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times 0.2 \times 0.8} = 4 $。
步骤 3：利用正态近似
利用正态近似，转换为标准正态变量 $ Z = \frac{X - 20}{4} $，则 \[ P(X \geq 30) = P\left(Z \geq \frac{30 - 20}{4}\right) = P(Z \geq 2.5) = 1 - \Phi(2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062 \]
设 $ X $ 为100根木柱中短于3米的根数，$ X $ 服从二项分布 $ B(100, 0.2) $，其中 $ n = 100 $，$ p = 0.2 $。
步骤 2：计算期望值和标准差
期望值 $ \mu = np = 20 $，标准差 $ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times 0.2 \times 0.8} = 4 $。
步骤 3：利用正态近似
利用正态近似，转换为标准正态变量 $ Z = \frac{X - 20}{4} $，则 \[ P(X \geq 30) = P\left(Z \geq \frac{30 - 20}{4}\right) = P(Z \geq 2.5) = 1 - \Phi(2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062 \]