[题目]设 (x)=lim _(narrow infty )dfrac ((n-1)x)(n{x)^2+1} 则f(x)的间断点为 x=-|||-__ ..

考查要点：本题主要考查分段函数的极限求解及函数间断点的判断。关键在于正确求出函数$f(x)$的表达式，并分析其连续性。

解题思路：

1. 分情况讨论：当$x=0$时，直接代入计算极限；当$x \neq 0$时，通过约简分子分母的最高次项求极限。
2. 判断连续性：通过比较$x=0$处的函数值与极限值，确定是否存在间断点。

破题关键：

• 极限化简：当$x \neq 0$时，分子分母同除以$n$，利用$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$简化表达式。
• 分段函数特性：明确$f(x)$在$x=0$和$x \neq 0$处的表达式差异，分析$x=0$处的极限是否存在。

步骤1：求$x \neq 0$时的极限

当$x \neq 0$时，分子$(n-1)x$和分母$n x^2 + 1$的最高次项均为$n$，因此：
$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{(n-1)x}{n x^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n x \left(1 - \frac{1}{n}\right)}{n x^2 \left(1 + \frac{1}{n x^2}\right)} = \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}.$

步骤2：求$x = 0$时的极限

当$x = 0$时，分子为$0$，分母为$1$，因此：
$f(0) = \lim_{n \to \infty} \frac{(n-1) \cdot 0}{n \cdot 0^2 + 1} = 0.$

步骤3：分析连续性

• 当$x \neq 0$时，$f(x) = \frac{1}{x}$在定义域内连续。
• 当$x = 0$时，$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$不存在（趋向于无穷大），而$f(0) = 0$，因此$x=0$是$f(x)$的无穷间断点。