题目
[题目]设 (x)=lim _(narrow infty )dfrac ((n-1)x)(n{x)^2+1} 则f(x)的间断点为 x=-|||-__ ..
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析函数在 $x=0$ 时的值
当 $x=0$ 时，$f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {(n-1)\cdot 0}{n\cdot 0^{2}+1} = 0$。
步骤 2：分析函数在 $x\neq 0$ 时的值
当 $x\neq 0$ 时，$f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {(n-1)x}{n{x}^{2}+1} = x\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-\dfrac {1}{n}}{{x}^{2}+\dfrac {1}{n}} = x\cdot \dfrac {1}{{x}^{2}} = \dfrac {1}{x}$。
步骤 3：确定函数的间断点
由于当 $x\rightarrow 0$ 时，$f(x)\rightarrow \infty$，所以 $x=0$ 是函数的间断点。
当 $x=0$ 时，$f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {(n-1)\cdot 0}{n\cdot 0^{2}+1} = 0$。
步骤 2：分析函数在 $x\neq 0$ 时的值
当 $x\neq 0$ 时，$f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {(n-1)x}{n{x}^{2}+1} = x\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-\dfrac {1}{n}}{{x}^{2}+\dfrac {1}{n}} = x\cdot \dfrac {1}{{x}^{2}} = \dfrac {1}{x}$。
步骤 3：确定函数的间断点
由于当 $x\rightarrow 0$ 时，$f(x)\rightarrow \infty$，所以 $x=0$ 是函数的间断点。