题目

设随机变量X，Y，Z相互独立，其中sim B(5,dfrac (1)(5)) sim E(3) sim pi (2)，则sim B(5,dfrac (1)(5)) sim E(3) sim pi (2)__________.

设随机变量X，Y，Z相互独立，其中 $X\sim B(5,\frac{1}{5}),Y\sim E(3),Z\sim\pi(2)$ ，则 $E(X-2Y+Z)=$ __________.

题目解答

答案

$X\sim B(5,\frac{1}{5})$ 表示X服从 $n=5,p=\frac{1}{5}$ 的二项分布，则X的数学期望为 $E\left(X\right)=np=5\times\frac{1}{5}=1$ ，

$Y\sim E(3)$ 表示Y服从参数 $λ=3$ 的指数分布，则Y的数学期望为 $E\left(Y\right)=\frac{1}{λ}=\frac{1}{3}$ ，

$Z\sim\pi(2)$ 表示Z服从参数 $λ=2$ 的泊松分布，则Z的数学期望为 $E\left(Z\right)=λ=2$ ，则 $E(X-2Y+Z)=E\left(X\right)-2E\left(Y\right)+E\left(Z\right)$ $=1-2\times\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}$ .

解析

考查要点：本题主要考查常见概率分布的数学期望公式以及期望的线性性质的应用。

解题核心思路：

识别各随机变量的分布类型，并写出对应的数学期望公式；
代入参数计算各变量的期望；
利用期望的线性性，将复合表达式分解为各变量期望的线性组合，代入计算。

破题关键点：

二项分布$B(n,p)$的期望为$np$；
指数分布$E(\lambda)$的期望为$\dfrac{1}{\lambda}$；
泊松分布$\pi(\lambda)$的期望为$\lambda$；
期望的线性性质：$E(aX + bY + cZ) = aE(X) + bE(Y) + cE(Z)$，与变量是否独立无关。

步骤1：计算各变量的期望

$X \sim B(5, \dfrac{1}{5})$
二项分布的期望公式为：
$E(X) = n \cdot p = 5 \cdot \dfrac{1}{5} = 1$
$Y \sim E(3)$
指数分布的期望公式为：
$E(Y) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{3}$
$Z \sim \pi(2)$
泊松分布的期望公式为：
$E(Z) = \lambda = 2$

步骤2：组合表达式

根据期望的线性性质：
$E(X - 2Y + Z) = E(X) - 2E(Y) + E(Z)$

步骤3：代入数值计算

$E(X - 2Y + Z) = 1 - 2 \cdot \dfrac{1}{3} + 2 = 1 - \dfrac{2}{3} + 2 = \dfrac{7}{3}$