题目
f(z)=u+iv为解析函数，则函数v的共轭调和函数为（A. u;B. uv;C. -u;D. -uv.
$f(z)=u+iv$为解析函数，则函数$v$的共轭调和函数为（
A. $u$;
B. $uv$;
C. $-u$;
D. $-uv$.
题目解答
答案
A. $u$;
解析
步骤 1：解析函数的定义
解析函数 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在区域 $D$ 上是解析的，当且仅当 $u$ 和 $v$ 在 $D$ 上满足柯西-黎曼方程:
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{和} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. \]
步骤 2：调和函数的定义
如果一个函数 $u(x, y)$ 满足拉普拉斯方程:
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \]
那么它被称为调和函数。解析函数的实部和虚部都是调和函数。
步骤 3：共轭调和函数的定义
如果 $u$ 和 $v$ 是调和函数，并且它们满足柯西-黎曼方程，那么 $v$ 被称为 $u$ 的共轭调和函数。同样，$u$ 被称为 $v$ 的共轭调和函数。
解析函数 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在区域 $D$ 上是解析的，当且仅当 $u$ 和 $v$ 在 $D$ 上满足柯西-黎曼方程:
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{和} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. \]
步骤 2：调和函数的定义
如果一个函数 $u(x, y)$ 满足拉普拉斯方程:
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \]
那么它被称为调和函数。解析函数的实部和虚部都是调和函数。
步骤 3：共轭调和函数的定义
如果 $u$ 和 $v$ 是调和函数，并且它们满足柯西-黎曼方程，那么 $v$ 被称为 $u$ 的共轭调和函数。同样，$u$ 被称为 $v$ 的共轭调和函数。