计算二重积分Ⅱydxdy,其中D是由直线 x=-2 =0 =2 以及曲线 x=-|||--sqrt (2y-{y)^2} 所围成的平面区域.

考查要点：本题主要考查二重积分的计算方法，涉及直角坐标系与极坐标系的转换，以及利用变量代换简化积分。

解题思路：

1. 区域分析：确定积分区域D的形状，由直线$x=-2$、$y=0$、$y=2$和曲线$x=-\sqrt{2y-y^2}$围成。曲线方程可转化为圆$x^2+(y-1)^2=1$的左半部分。
2. 积分拆分：将原积分拆分为整个矩形区域（$x$从$-2$到$0$）的积分减去左半圆部分的积分。
3. 变量代换：对左半圆部分的积分使用三角代换$y-1=\sin t$，简化计算。

解法一：极坐标法

1. 区域转换：左半圆$x=-\sqrt{2y-y^2}$对应极坐标方程$r=2\sin\theta$，$\theta$范围为$\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi$。
2. 极坐标积分：
   $\iint_{D_1} y \, dx dy = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \int_0^{2\sin\theta} (r\sin\theta) \cdot r \, dr d\theta = \frac{8}{3} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin^4\theta \, d\theta$
3. 降幂积分：利用$\sin^4\theta = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{8}\cos4\theta$，积分结果为$\frac{\pi}{8}$，故左半圆积分值为$\frac{\pi}{2}$。
4. 最终结果：原积分等于矩形区域积分$4$减去左半圆积分$\frac{\pi}{2}$，即$4 - \frac{\pi}{2}$。

解法二：直角坐标法

1. 矩形区域积分：$\int_{0}^{2} \int_{-2}^{0} y \, dx dy = 4$。
2. 左半圆积分：$\int_{0}^{2} y\sqrt{2y-y^2} \, dy$，令$y-1=\sin t$，化简后得$\frac{\pi}{2}$。
3. 最终结果：原积分$= 4 - \frac{\pi}{2}$。