题目
计算二重积分Ⅱydxdy,其中D是由直线 x=-2 =0 =2 以及曲线 x=-|||--sqrt (2y-{y)^2} 所围成的平面区域.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
首先，确定积分区域D。D是由直线$x=-2$，$y=0$，$y=2$以及曲线$x=-\sqrt{2y-y^2}$所围成的平面区域。注意到曲线$x=-\sqrt{2y-y^2}$可以改写为$x^2+y^2-2y=0$，即$(x^2)+(y-1)^2=1$，这是一个圆心在$(0,1)$，半径为1的圆的左半部分。
步骤 2：计算二重积分
为了计算二重积分$\iint_D y\,dxdy$，我们首先考虑将积分区域D分解为两个部分：一部分是圆的左半部分，另一部分是矩形区域。但是，直接计算这个积分可能比较复杂，因此我们考虑使用极坐标变换来简化计算。
步骤 3：极坐标变换
在极坐标系下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$。积分区域D在极坐标系下可以表示为$\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\pi$，$0\leq r\leq 2\sin\theta$。因此，原积分可以写为：
$$\iint_D y\,dxdy = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \int_0^{2\sin\theta} r\sin\theta \cdot r\,drd\theta$$
$$= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin\theta \int_0^{2\sin\theta} r^2\,drd\theta$$
$$= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin\theta \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^{2\sin\theta} d\theta$$
$$= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin\theta \cdot \frac{8\sin^3\theta}{3} d\theta$$
$$= \frac{8}{3} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin^4\theta d\theta$$
$$= \frac{8}{3} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left(\frac{1-\cos2\theta}{2}\right)^2 d\theta$$
$$= \frac{8}{3} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{4}\cos^22\theta\right) d\theta$$
$$= \frac{8}{3} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{8}(1+\cos4\theta)\right) d\theta$$
$$= \frac{8}{3} \left[\frac{1}{4}\theta - \frac{1}{4}\sin2\theta + \frac{1}{16}\theta + \frac{1}{64}\sin4\theta\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}$$
$$= \frac{8}{3} \left(\frac{5\pi}{16} - \frac{\pi}{8}\right)$$
$$= \frac{8}{3} \cdot \frac{3\pi}{16}$$
$$= \frac{\pi}{2}$$
步骤 4：计算矩形区域的积分
矩形区域的积分可以直接计算，因为$y$的范围是$0$到$2$，$x$的范围是$-2$到$-\sqrt{2y-y^2}$，所以矩形区域的积分是$4$。因此，整个区域的积分是$4-\frac{\pi}{2}$。
首先，确定积分区域D。D是由直线$x=-2$，$y=0$，$y=2$以及曲线$x=-\sqrt{2y-y^2}$所围成的平面区域。注意到曲线$x=-\sqrt{2y-y^2}$可以改写为$x^2+y^2-2y=0$，即$(x^2)+(y-1)^2=1$，这是一个圆心在$(0,1)$，半径为1的圆的左半部分。
步骤 2：计算二重积分
为了计算二重积分$\iint_D y\,dxdy$，我们首先考虑将积分区域D分解为两个部分：一部分是圆的左半部分，另一部分是矩形区域。但是，直接计算这个积分可能比较复杂，因此我们考虑使用极坐标变换来简化计算。
步骤 3：极坐标变换
在极坐标系下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$。积分区域D在极坐标系下可以表示为$\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\pi$，$0\leq r\leq 2\sin\theta$。因此，原积分可以写为：
$$\iint_D y\,dxdy = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \int_0^{2\sin\theta} r\sin\theta \cdot r\,drd\theta$$
$$= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin\theta \int_0^{2\sin\theta} r^2\,drd\theta$$
$$= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin\theta \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^{2\sin\theta} d\theta$$
$$= \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin\theta \cdot \frac{8\sin^3\theta}{3} d\theta$$
$$= \frac{8}{3} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin^4\theta d\theta$$
$$= \frac{8}{3} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left(\frac{1-\cos2\theta}{2}\right)^2 d\theta$$
$$= \frac{8}{3} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{4}\cos^22\theta\right) d\theta$$
$$= \frac{8}{3} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{8}(1+\cos4\theta)\right) d\theta$$
$$= \frac{8}{3} \left[\frac{1}{4}\theta - \frac{1}{4}\sin2\theta + \frac{1}{16}\theta + \frac{1}{64}\sin4\theta\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}$$
$$= \frac{8}{3} \left(\frac{5\pi}{16} - \frac{\pi}{8}\right)$$
$$= \frac{8}{3} \cdot \frac{3\pi}{16}$$
$$= \frac{\pi}{2}$$
步骤 4：计算矩形区域的积分
矩形区域的积分可以直接计算，因为$y$的范围是$0$到$2$，$x$的范围是$-2$到$-\sqrt{2y-y^2}$，所以矩形区域的积分是$4$。因此，整个区域的积分是$4-\frac{\pi}{2}$。