求指导本题解题过程，谢谢您！9.已知f(x)在 x=0 处连续,且 lim _(xarrow 0)dfrac ({x)^2}(f(x))=1, 则下列结论-|||-①4(0)存在,且 '(0)=0. ②f"(0)存在,且 ''(0)=2.-|||-③f(x)在 x=0 处取得极小值. ④ (x)在x=0 的某邻域内连续.-|||-中正确的个数为-|||-(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.

考查要点：本题主要考查极限、连续性、导数存在性、极值及函数性质的综合应用。关键在于通过已知极限条件推导函数在$x=0$处的局部性质。

解题思路：

1. 由极限条件推导$f(0)$的值：利用$\lim_{x\to0}\frac{x^2}{f(x)}=1$，结合$f(x)$在$x=0$处连续，确定$f(0)=0$。
2. 分析导数存在性：通过导数定义及极限变形，判断$f'(0)$是否存在及具体值。
3. 二阶导数的存在性：需结合可导条件及泰勒展开思想，但题目未明确$f(x)$在邻域内的可导性，需谨慎判断。
4. 极值判定：利用$f(x)$在$x=0$附近的行为（类似$x^2$）判断极小值。
5. 连续性推广：注意题目仅给出$x=0$处连续，无法直接推导邻域内连续性。

破题关键：极限条件隐含$f(x)\sim x^2$，结合导数定义及极值判定标准，注意题目条件的限制。

结论①：$f'(0)$存在且$f'(0)=0$

1. 由极限条件推导$f(0)$
   由$\lim_{x\to0}\frac{x^2}{f(x)}=1$，可知当$x\to0$时，$f(x)\sim x^2$，故$f(0)=0$（连续性保证$f(0)=\lim_{x\to0}f(x)=0$）。

2. 计算$f'(0)$
   根据导数定义：
   $f'(0) = \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}.$
   由$\lim_{x\to0}\frac{x^2}{f(x)}=1$，得$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，即$f(x)\approx x^2$。因此：
   $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{x^2}{x} = \lim_{x\to0}x = 0.$
   故$f'(0)=0$，结论①正确。

结论②：$f''(0)$存在且$f''(0)=2$

1. 二阶导数的定义
   若$f'(x)$存在且连续，则：
   $f''(0) = \lim_{x\to0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x}.$
   但题目未说明$f(x)$在$x\neq0$处可导，无法直接计算$f''(0)$。即使假设$f(x)=x^2$，其二阶导数为$2$，但题目条件不足以保证$f(x)$在邻域内可导。因此结论②不成立。

结论③：$f(x)$在$x=0$处取得极小值

1. 极值判定
   由$f(x)\sim x^2$，当$x$接近$0$时，$f(x)\geq0$，且$f(0)=0$，故$x=0$为极小值点。结论③正确。

结论④：$f(x)$在$x=0$的某邻域内连续

1. 连续性推广
   题目仅给出$f(x)$在$x=0$处连续，未提供邻域内连续的信息。可能存在函数在$x=0$处连续但邻域内不连续的情况，因此结论④不成立。