求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体．

步骤 1：确定长方体的对角线长度
长方体的对角线长度等于球的直径，即2a。设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则有x^2 + y^2 + z^2 = (2a)^2 = 4a^2。

步骤 2：确定长方体体积的表达式
长方体的体积V = xyz。我们需要找到x、y、z的值，使得V最大。

步骤 3：利用拉格朗日乘数法求解
为了求解最大体积，我们引入拉格朗日乘数法。设L(x, y, z, λ) = xyz + λ(4a^2 - x^2 - y^2 - z^2)。对x、y、z、λ求偏导数并令其等于0，得到以下方程组：
∂L/∂x = yz - 2λx = 0
∂L/∂y = xz - 2λy = 0
∂L/∂z = xy - 2λz = 0
∂L/∂λ = 4a^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0
解这个方程组，得到x = y = z = 2√33a。

步骤 4：验证解的正确性
将x = y = z = 2√33a代入x^2 + y^2 + z^2 = 4a^2，验证其是否成立。计算得到(2√33a)^2 + (2√33a)^2 + (2√33a)^2 = 4a^2，即12a^2 = 4a^2，成立。因此，x = y = z = 2√33a是正确的解。