题目
例1 设平面 x=1 ,x=-1 ,y=1 和 y=-1 围成的柱体被坐标平面 z=0 和平面 x+y+z=3 所截,-|||-求截下部分立体的体积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲顶柱体的曲顶和底面
曲顶由平面 x+y+z=3 给出，即 z=3-x-y。底面由平面 x=1, x=-1, y=1 和 y=-1 围成，即 -1 ≤ x ≤ 1 和 -1 ≤ y ≤ 1。
步骤 2：计算曲顶柱体的体积
曲顶柱体的体积可以通过二重积分计算，即 V = ∬(3-x-y)dxdy，其中积分区域为 -1 ≤ x ≤ 1 和 -1 ≤ y ≤ 1。
步骤 3：计算二重积分
首先对 y 积分，得到 ∫(3-x-y)dy = (3-x)y - 1/2*y^2，然后对 x 积分，得到 ∫[(3-x)y - 1/2*y^2]dx = 6x - x^2，最后计算积分值，得到 V = 12。
曲顶由平面 x+y+z=3 给出，即 z=3-x-y。底面由平面 x=1, x=-1, y=1 和 y=-1 围成，即 -1 ≤ x ≤ 1 和 -1 ≤ y ≤ 1。
步骤 2：计算曲顶柱体的体积
曲顶柱体的体积可以通过二重积分计算，即 V = ∬(3-x-y)dxdy，其中积分区域为 -1 ≤ x ≤ 1 和 -1 ≤ y ≤ 1。
步骤 3：计算二重积分
首先对 y 积分，得到 ∫(3-x-y)dy = (3-x)y - 1/2*y^2，然后对 x 积分，得到 ∫[(3-x)y - 1/2*y^2]dx = 6x - x^2，最后计算积分值，得到 V = 12。