题目
简答题(共5题，60.0分)13. (12.0分) 已知向量组alpha_(1)=(1,-1,2,4)^T,alpha_(2)=(0,3,1,2)^T,alpha_(3)=(2,-5,3,6)^T,alpha_(4)=(1,5,4,8)^T,alpha_(5)=(1,-2,2,0)^T,试求alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),alpha_(4),alpha_(5)的极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示.
简答题(共5题，60.0分)
13. (12.0分) 已知向量组
$\alpha_{1}=(1,-1,2,4)^{T},\alpha_{2}=(0,3,1,2)^{T},\alpha_{3}=(2,-5,3,6)^{T},\alpha_{4}=(1,5,4,8)^{T},\alpha_{5}=(1,-2,2,0)^{T},$
试求$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5}$的极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示.
题目解答
答案
为了求向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 的极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示，我们可以按照以下步骤进行：
1. **将向量组写成矩阵形式**：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\
-1 & 3 & -5 & 5 & -2 \\
2 & 1 & 3 & 4 & 2 \\
4 & 2 & 6 & 8 & 0
\end{pmatrix}
\]
2. **对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化为行阶梯形**：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\
-1 & 3 & -5 & 5 & -2 \\
2 & 1 & 3 & 4 & 2 \\
4 & 2 & 6 & 8 & 0
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2 + R_1}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 3 & -3 & 6 & -1 \\
2 & 1 & 3 & 4 & 2 \\
4 & 2 & 6 & 8 & 0
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_3 - 2R_1}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 3 & -3 & 6 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\
4 & 2 & 6 & 8 & 0
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_4 - 4R_1}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 3 & -3 & 6 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 2 & -2 & 4 & -4
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 3 & -3 & 6 & -1 \\
0 & 2 & -2 & 4 & -4
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_3 - 3R_2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 2 & -2 & 4 & -4
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_4 - 2R_2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -4
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_4 - 4R_3}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\xrightarrow{-R_3}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_1 - R_3}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
3. **确定极大线性无关组**：
从行阶梯形矩阵中，我们可以看到 pivot (主元) 位于第1, 2, 5列。因此，向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_5$ 是一个极大线性无关组。
4. **将其余向量用极大线性无关组线性表示**：
- 对于 $\alpha_3$：
\[
\alpha_3 = 2\alpha_1 - \alpha_2
\]
- 对于 $\alpha_4$：
\[
\alpha_4 = \alpha_1 + 2\alpha_2
\]
综上所述，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 的极大线性无关组是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_5$，且其余向量用此极大线性无关组线性表示为：
\[
\alpha_3 = 2\alpha_1 - \alpha_2, \quad \alpha_4 = \alpha_1 + 2\alpha_2
\]
\[
\boxed{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_5; \alpha_3 = 2\alpha_1 - \alpha_2, \alpha_4 = \alpha_1 + 2\alpha_2}
\]