利用高斯公式计算曲面积分 11(z+y)dxdy+(x^2 +z)dydz ，其中 11(z+y)dxdy+(x^2 +z)dydz 为平 面11(z+y)dxdy+(x^2 +z)dydz 和柱面11(z+y)dxdy+(x^2 +z)dydz 所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧

步骤 1：确定被积函数和积分区域
设$P={x}^{2}+z$，$Q=0$，$R=z+y$，则积分区域为平面$z=0$，$z=2$和柱面${x}^{2}+{y}^{2}=1$所围成的空间闭区域$\Omega$的整个边界曲面的外侧。

步骤 2：计算偏导数
计算$\frac{\partial P}{\partial x}$，$\frac{\partial Q}{\partial y}$，$\frac{\partial R}{\partial z}$，得到$\frac{\partial P}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial Q}{\partial y}=0$，$\frac{\partial R}{\partial z}=1$。

步骤 3：应用高斯公式
根据高斯公式，曲面积分$\iint (x+y)dxdy+({x}^{2}+z)dydz$可以转化为体积积分$\iiint_{\Omega} (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$，即$\iiint_{\Omega} (2x+0+1)dxdydz$。

步骤 4：计算体积积分
由于积分区域$\Omega$关于$y$-$z$平面对称，且被积函数$2x$是关于$x$的奇函数，因此$\iiint_{\Omega} 2xdxdydz=0$。所以，原曲面积分等于$\iiint_{\Omega} dxdydz$，即$\iiint_{\Omega} 1dxdydz$。

步骤 5：计算积分值
积分区域$\Omega$为平面$z=0$，$z=2$和柱面${x}^{2}+{y}^{2}=1$所围成的空间闭区域，因此可以使用柱坐标系进行积分。积分值为$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} r dz dr d\theta = 2\pi \int_{0}^{1} r dr \int_{0}^{2} dz = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = 2\pi$。