题目
设X~B(100，0，3)，由切比雪夫不等式，则p(|X-30|<10)≥[填空1]
设X~B(100，0，3)，由切比雪夫不等式，则p{|X-30|<10}≥[填空1]
题目解答
答案
已知 $X \sim B(100, 0.3)$，则均值 $\mu = np = 30$，方差 $\sigma^2 = np(1-p) = 21$。
根据切比雪夫不等式，对于任意 $\epsilon > 0$，有
\[ P(|X - \mu| \geq \epsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}. \]
取 $\epsilon = 10$，则
\[ P(|X - 30| \geq 10) \leq \frac{21}{10^2} = 0.21. \]
因此，
\[ P(|X - 30| < 10) \geq 1 - 0.21 = 0.79. \]
答案：$\boxed{0.79}$
解析
考查要点：本题主要考查切比雪夫不等式的应用，以及二项分布的期望与方差的计算。
解题核心思路：
- 确定二项分布的期望和方差：根据二项分布的参数$n=100$和$p=0.3$，计算出$\mu = np$和$\sigma^2 = np(1-p)$。
- 应用切比雪夫不等式：将题目中的概率转化为切比雪夫不等式的标准形式，通过不等式求出概率的下界。
破题关键点：
- 正确代入切比雪夫不等式：注意不等式中的$\epsilon$对应题目中的10，需通过补集关系转换概率方向。
步骤1：计算二项分布的期望和方差
- 期望：$\mu = np = 100 \times 0.3 = 30$
- 方差：$\sigma^2 = np(1-p) = 100 \times 0.3 \times 0.7 = 21$
步骤2：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式为：
$P(|X - \mu| \geq \epsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$
取$\epsilon = 10$，代入得：
$P(|X - 30| \geq 10) \leq \frac{21}{10^2} = 0.21$
步骤3：求原概率的下界
根据概率的补集关系：
$P(|X - 30| < 10) = 1 - P(|X - 30| \geq 10) \geq 1 - 0.21 = 0.79$