underset(lim)(x→0)（(1)/(x)-(1)/((e)^x-1)）

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是处理0/0型不定式的能力，需要灵活运用洛必达法则或泰勒展开等方法。

解题核心思路：

1. 合并分式，将原式转化为分式形式，观察是否为不定式；
2. 若为0/0型，选择洛必达法则或泰勒展开简化表达式；
3. 通过逐次求导或展开高阶项，消去低阶无穷小，最终求得极限值。

破题关键点：

• 识别分子分母的等价无穷小关系，或通过求导消除不定式；
• 泰勒展开可快速确定分子分母的主部，简化计算。

步骤1：合并分式
原式可合并为：
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}.$

步骤2：应用洛必达法则
分子 $e^x - 1 - x$ 和分母 $x(e^x - 1)$ 在 $x \to 0$ 时均趋近于 $0$，故为 $0/0$ 型不定式。对分子分母分别求导：

• 分子导数：$\frac{d}{dx}(e^x - 1 - x) = e^x - 1$；
• 分母导数：$\frac{d}{dx}[x(e^x - 1)] = e^x - 1 + x e^x$。

此时极限变为：
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{e^x - 1 + x e^x}.$

步骤3：再次应用洛必达法则
分子 $e^x - 1$ 和分母 $e^x - 1 + x e^x$ 在 $x \to 0$ 时仍趋近于 $0$，故再次求导：

• 分子导数：$\frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x$；
• 分母导数：$\frac{d}{dx}(e^x - 1 + x e^x) = e^x + e^x + x e^x = 2e^x + x e^x$。

最终极限为：
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2e^x + x e^x} = \frac{1}{2 \cdot 1 + 0} = \frac{1}{2}.$