题目
已知x+y=1，求x3+y3+3xy的值．
已知x+y=1，求x3+y3+3xy的值．
题目解答
答案
解：∵x+y=1，
∴x3+y3+3xy=（x+y）（x2-xy+y2）+3xy
=x2+y2+2xy=（x+y）2=1．
解析
步骤 1：利用立方和公式
立方和公式为：\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)。这里，我们设\(a = x\)，\(b = y\)，则有\(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)\)。
步骤 2：代入已知条件
已知\(x + y = 1\)，代入立方和公式，得到\(x^3 + y^3 = 1 \cdot (x^2 - xy + y^2)\)。
步骤 3：计算\(x^3 + y^3 + 3xy\)
根据步骤2，\(x^3 + y^3 = x^2 - xy + y^2\)，所以\(x^3 + y^3 + 3xy = x^2 - xy + y^2 + 3xy = x^2 + 2xy + y^2\)。
步骤 4：利用完全平方公式
\(x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2\)，代入\(x + y = 1\)，得到\(x^3 + y^3 + 3xy = 1^2 = 1\)。
立方和公式为：\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)。这里，我们设\(a = x\)，\(b = y\)，则有\(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)\)。
步骤 2：代入已知条件
已知\(x + y = 1\)，代入立方和公式，得到\(x^3 + y^3 = 1 \cdot (x^2 - xy + y^2)\)。
步骤 3：计算\(x^3 + y^3 + 3xy\)
根据步骤2，\(x^3 + y^3 = x^2 - xy + y^2\)，所以\(x^3 + y^3 + 3xy = x^2 - xy + y^2 + 3xy = x^2 + 2xy + y^2\)。
步骤 4：利用完全平方公式
\(x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2\)，代入\(x + y = 1\)，得到\(x^3 + y^3 + 3xy = 1^2 = 1\)。