(3)设a_(n)>0(n=1,2,...),S_(n)=a_(1)+a_(2)+...+a_(n),则数列S_(n)有界是数列a_(n)收敛的 A. 充分必要条件.B. 充分非必要条件.C. 必要非充分条件.D. 既非充分也非必要条件.

考查要点：本题主要考查级数收敛性与数列收敛性的关系，涉及单调有界定理和级数收敛的必要条件。

解题核心思路：

1. 充分性：若部分和数列$S_n$有界，则由$a_n>0$可知$S_n$单调递增，结合单调有界定理可得$S_n$收敛，从而$a_n=S_n-S_{n-1}$趋于$0$，即$a_n$收敛。
2. 必要性：若$a_n$收敛，其极限可能为非零常数或$0$。若极限非零，则$S_n$必然无界；若极限为$0$，$S_n$仍可能无界（如调和级数）。因此必要性不成立。

破题关键：明确部分和数列有界与通项收敛之间的蕴含关系，特别注意通项趋于$0$是级数收敛的必要但不充分条件。

充分性证明

1. 单调性：由$a_n>0$，得$S_{n}=S_{n-1}+a_n > S_{n-1}$，即$S_n$单调递增。
2. 有界性：若$S_n$有界，则由单调有界定理，$S_n$收敛。
3. 通项收敛：设$\lim_{n \to \infty} S_n = S$，则：
   $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (S_n - S_{n-1}) = S - S = 0.$
   因此$a_n$收敛。

必要性反例

1. 极限非零：若$\lim_{n \to \infty} a_n = a \neq 0$，则存在$N$使得当$n>N$时，$a_n > a/2$，此时$S_n \geq S_N + (a/2)(n-N) \to +\infty$，即$S_n$无界。
2. 极限为零：若$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，但$S_n$仍可能无界。例如$a_n = \frac{1}{n}$，此时$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，但$S_n$为调和级数发散，无界。